Dado que ...

por iaguete Sáb 14 Dez 2013, 17:36

a³+b³+c³=(a+b+c)³, prove que para todo número natural n:
$Dado que ... Gif$

por Luck Seg 16 Dez 2013, 15:09

Por indução e usando polinômios simétricos, vamos primeiramente verificar se é válido para S5 .
Sn = a1S[n-1] - a2S[n-2] + a3S[n-3]
sendo S0 = 3, S1 = a1 , S2 = a1² - 2a2
S3 = a1S2 -a2S1 + a3S0
S3 = a1(a1² -2a2) -a2a1 + 3a3
a1³ = a1³ -2a1a2 - a1a2 + 3a3
3a1a2 = 3a3 ∴ a1a2=a3 (i)

S4 = a1S3 -a2S2 + a3S1
S4 = a1a1³ -a2(a1² -2a2) + a3a1
S4 = a1^4 - a2a1² +2a2² + a3a1
de (i) : S4 = a1^4 + 2a2²

S5 = a1S4 -a2S3 + a3S2
S5 = a1(a1^4 + 2a2²) -a2a1³ + a3(a1² -2a2)
S5 = a1^5 + 2a1a2² -a2a1³ + a3a1² - 2a3a2
de (i): 2a1a2² = 2a2a3 ; a2a1³ = a3a1²
Logo S5 = a1^5 , ok.

hip.:
S[2n-3] = a1^(2n-3) ; S[2n-1] = a1^(2n-1)

tese: S[2n+1] = a1^(2n+1)

S[2n+1] = a1S[2n] - a2S[2n-1] + a3S[2n-2]
S[2n] = a1S[2n-1] - a2S[2n-2] + a3S[2n-3]
substituindo:
S[2n+1] = a1( a1S[2n-1] - a2S[2n-2] + a3S[2n-3] ) - a2S[2n-1] + a3S[2n-2]
S[2n+1] = a1²S[2n-1] - a1a2S[2n-2] + a1a3S[2n-3] - a2S[2n-1] + a3S[2n-2]
S[2n+1] = a1².a1^(2n-1) - a3S[2n-2] + a1a3a1^(2n-3) -a2a1^(2n-1) + a3S[2n-2]
S[2n+1] = a1^(2n+1) +a3a1^(2n-2) - a3a1^(2n-2)
S[2n+1] = a1^(2n+1) , c.q.d

questão difícil..

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