Polinomios - Teorema do Resto

por Fyndrel Ter 10 Dez 2013, 20:16

Oi, tenho uma dúvida sobre Teorema do Resto, quando me ensinaram me disseram que ele não funciona para divisores de grau maior que um. Ou seja só funciona para divisores do primeiro grau.
Porém, encontrei esse exercício abaixo de uma divisão com divisor do segundo grau onde o teorema funcionou.
Minha dúvida é, por que teorema do resto não funciona em divisões com divisores de grau maior que um? Por que nessa questão abaixo funcionou então?

Ache m e n para que P(x) = x⁴+ x³+ mx + n seja divisível por x²+ x + 1

Pelo Teorema do Resto ficaria:

P(x)= quociente(x).divisor(x) + resto
P(x) =q(x).(x²+x+1) + 0

Nesse momento tentei calcular a raiz do divisor, mas como o delta é negativo, não existem valores para X que zerem. Então fiz a divisão de polinômios, para descobrir o quociente Q(x)
Encontrando Q(x) = x²-1 temos

P(x) =(x²-1).(x²+x+1) + 0
Raiz do q(x) = +1 ou -1

Portanto essas raízes zeram a função Q(x) e consequentemente a P(x):
P(1) = 0 e P(-1) =0

1^4 + 1^3 +m + n =0
(-1)⁴ + (-1)³ -m +n =0

n - m = 0
n + m = -2

n = -1
m = -1

Outra forma de resolver, sem usar o teorema do resto, é fazer a divisão pelo método das chaves, encontrar o resto mx + x + n + 1 e iguala-lo a zero

Resto = 0
mx + x + n + 1 = 0x + 0

mx + x = 0x -> x(m+1) = 0x -> m = -1

n+1 = 0 -> n = -1

Dando assim o mesmo resultado.

Agradeço a quem puder me explicar.
Abraços!

por PedroCunha Ter 10 Dez 2013, 21:34

O que você utilizou não foi o Teorema do Resto. Foi, basicamente, a definição de Dividendo:

Dividendo = Divisor * Quociente + Resto

O Teorema do Resto é, por exemplo:

Dado o polinômio P(x) = 4x³ + 2x² + x -3, ache o resto da divisão de P(x) por x + 2.

x + 2 = 0 --> x = - 2

P(-2) = 4 * (-2)³+ 2*(-2)² + (-2) - 3
P(-2) = -32 + 8 - 2 - 3
P(-2) = -29

Qualquer coisa, retorne!

Abraços!

por Fyndrel Ter 10 Dez 2013, 21:52

Valeu....entendi, o Teorema do Resto é para descobrir o resto de uma divisão, por isso não funcionaria em um divisor do segundo grau pois existiriam dois restos.
No exercício que eu fiz eu já sabia o valor do resto e usei a definição pra achar uma incógnita do polinômio.
Outro detalhe é que o resto era zero.

Sempre em uma divisão de polinômios com divisor do primeiro grau, se o resto for zero, a raiz do divisor tb será raiz do polinômio correto?