Número de divisores

por William Lima Qui 28 Nov 2013, 22:55

Calcule o número de divisores positivos de 1³+2³+3³+...+18³+19³+20³.

por **ivomilton** Sex 29 Nov 2013, 13:26

William Lima escreveu:Calcule o número de divisores positivos de 1³+2³+3³+...+18³+19³+20³.

Boa tarde, William.

Existem duas fórmulas a respeito:
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)²
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n²(n+1)²]/4

Utilizando a primeira fórmula, vem:
S = (a1 + an).n/2
S = (1+20).20/2
S = 21.10
S = 210

Logo, fica:
(1 + 2 + 3 + ... + 20)² = (210)²

210 = 2.3.5.7
(210)² = 2².3².5².7²

Assim, o número de divisores desse produto é:
(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) = 3⁴ = 81

Um abraço.

por William Lima Sáb 30 Nov 2013, 01:40

Muito obrigado Mestre, um abraço!

por William Lima Sáb 30 Nov 2013, 13:42

Mestre, poderia fazer a resolução deste problema usando a segunda fórmula se for possível?

por **ivomilton** Sáb 30 Nov 2013, 14:01

William Lima escreveu:Mestre, poderia fazer a resolução deste problema usando a segunda fórmula se for possível?

Boa tarde, William.

Sim, sem problemas; veja:

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n²(n+1)²]/4

[n²(n+1)²]/4
n = 20

20²(20+1)²/4 = 400(21)²/4 = 400*441/4 = 400/4 * 441 = 44100

Fatorando 44100, fica:
44100 = 2² * 3² * 5² * 7²

Número de divisores procurado:
(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) = 3⁴ = 81

Um abraço.

por William Lima Sáb 30 Nov 2013, 14:15

Mestre, a solução não está batendo com o gabarito, cuja a resposta é 89. Será que houve algum equívoco ou há chances do gabarito mesmo estar errado? Um abraço!

OBS: O livro no qual eu tenho é o ''Praticando a Aritmética'', do Lacerda.
http://www.vestseller.com.br/detalhamento.asp?produto_id=163

por **ivomilton** Sáb 30 Nov 2013, 15:19

William Lima escreveu:Mestre, a solução não está batendo com o gabarito, cuja a resposta é 89. Será que houve algum equívoco ou há chances do gabarito mesmo estar errado? Um abraço!

OBS: O livro no qual eu tenho é o ''Praticando a Aritmética'', do Lacerda.
http://www.vestseller.com.br/detalhamento.asp?produto_id=163

Boa tarde, William.

A soma dos cubos dos números de 1 a 20 é mesmo 44100 (confirmado!)
A decomposição de 44100 em fatores primos é mesmo 2².3².5².7².
Sendo assim, o número de divisores de 44100 só poderá ser mesmo 81, não tem como dar 89!
Logo, só podemos deduzir que houve erro na impressão do gabarito.

Um abraço.