Soma infinita

por mddgabriel Qua 27 Nov 2013, 11:24

Fiquei em dúvida nessa:

Seja x um número real não nulo, tal que $-1<x<1$ . Calcule a soma

$x-\frac{x}{3}\, +x^{2}-\frac{x}{9}\, +x^{3}-\frac{x}{27}\, + ...$

por **Elcioschin** Qua 27 Nov 2013, 14:05

Basta separar em duas PGs decrescentes infinitas:

1) x + x² + x³ + ..... a1 = x, q = x ---> S' = a1/(1 - q) ---> S' = x/(1 - x)

2) - x/3 - x/9 - x/27 - .... ----> - x.(1/3 + 1/9 + 1/27 + .....) ----> a1 = 1/3, q = 1/3

S" = - x (1/3)/(1 - 1/3) ----> S" = - x/2

S = S' + S" ----> S = x/(1 - x) - x/2 ----> S = [2x - x.(1 - x)]/2.(1 - x) ----> S = x/2

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