Sistemas lineares

por Argolo Sáb 16 Nov 2013, 16:14

(Fesp) Se x=a, y=b e z=c é a soluçã0 de

1 1 2 x 4
1 -1 3 y = 19
2 3 1 z 51
então 2a + b + 2c vale
a) 51
b) 55
c) 66
d) 74

Escalonar esse problema é muito chato. Sempre que encontro o z, eu encontro um valo fracionário. O mesmo para o x e y. Será que há um outro modo de achar o a, b e c ou estou equivocado?

por PedroCunha Sáb 16 Nov 2013, 16:18

É uma matriz?

Seria

$\left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\2 & 3 & 1 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} 4 \\ 19 \\ 51 \end{matrix} \right ]$

?

Att.,
Pedro

por Argolo Dom 17 Nov 2013, 17:38

por Argolo Dom 17 Nov 2013, 17:53

A resposta é letra ''c'', pelo gabarito. Mas não consegui achar o método para resolvê-la.

por PedroCunha Dom 17 Nov 2013, 18:28

Ok. Fica da seguinte maneira então: (Já vou substituir x,y e z respectivamente por a,b e c)

$\\\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 4 \\ 19 \\ 51 \end{matrix} \right] \therefore \left[ \begin{matrix} a + b + 2c \\ a - b + 3c \\ 2a + 3b + c \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 4 \\ 19 \\ 51 \end{matrix} \right] \therefore \\\\ \begin{cases} a + b + 2c = 4 \dots I \\ a - b + 3c = 19 \dots II \\ 2a + 3b + c = 51 \dots III \end{cases}\\\\\text{Fazendo } I + II: \\\\2a + 5c = 23 \therefore 2a = 23 - 5c \dots IV \text{ ou } a = \frac{23 - 5c}{2} \dots IV.I\\\\\text{Substituindo } IV \text{ em } III: \\\\23 - 5c + 3b + c = 51 \therefore 3b - 4c = 28 \therefore b = \frac{28 + 4c}{3} \dots V \\\\\text{Substituindo } IV.I \text{ e } V \text{ em } I: \\\\ \frac{23-5c}{2} + \frac{28+4c}{3} + 2c = 4 \therefore \frac{69 - 15c + 56 + 8c + 12c = 24}{\cancel{6}} \therefore 125 + 5c = 24 \therefore c = -\frac{101}{5} \dots VI \\\\ \text{Substituindo } VI \text{ em } IV.I: \\\\ a = \frac{23 - 5 \cdot \left(-\frac{101}{5}\right)}{2} \therefore a = \frac{23 + 101}{2} \therefore a = 62 \\\\ \text{Substituindo } VI \text{ em } V: \\\\ b = \frac{28 + 4 \cdot \left(-\frac{101}{5}\right)}{3} \therefore b = \frac{\frac{140 - 404}{5}}{3} \therefore b = \frac{-264}{15} \\\\\text{O enunciado pede } 2a + b + 2c: \\\\ 2 \cdot 62 - \frac{264}{15} - 2 \cdot \frac{101}{5} \therefore \frac{1860 - 264 - 606 }{15} \therefore \frac{990}{15} = 66$