Trigonometria - IME

por kakaroto Sex 15 Nov 2013, 18:48

Resolva:

[log(cosx) sen²x].[log(cos²x) senx]=4

por **VictorCoe** Sex 15 Nov 2013, 19:54

Vou pegar cada termo e desenvolvê-los :

$[log_{cosx} sen^2x].[log_{cos^2x} senx]=4\Rightarrow \alpha .\beta =4$

Desenvolvendo alfa :

$[log_{cosx} sen^2x]=\alpha$

$2[log_{cosx} senx]=\alpha$

Desenvolvendo Beta :

$[log_{cos^2x} senx]=\beta$

$\frac{1}{2}[log_{cosx} senx]=\beta$

Logo :

$\frac{1}{2}[log_{cosx} senx].2.log_{cosx}senx=4$

$[log_{cosx} senx].log_{cosx}senx=4$

$\left (log_{cosx}senx \right )^2=4$

$\left (log_{cosx}senx \right )=2$

Portanto, temos que $senx=cos^2x$

Substituindo na equação da trigonometria :

$sen^2x+cos^2x=1$

$sen^2x+senx=1$

$sen^2x+senx-1=0$

$\Delta =5$

$senx=\frac{-1\pm\sqrt{5} }{2}$

O único valor admissível para o seno é que raiz de 5 seja positivo :

$senx=\frac{-1+\sqrt{5} }{2}$

E finalmente :

$x=arcsen\left (\frac{-1+\sqrt{5} }{2} \right )$

Pela propriedade do seno, temos que a solução é :

$S=\left \{ x\;\epsilon \;\mathbb{Z} \:\setminus x=arcsen\left (\frac{-1+\sqrt{5} }{2} \right+2k\pi ) \right \}$

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