Desafio de matrizes/trigonometria

por pvniciu Qui 07 Nov 2013, 19:05

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/812/cxen.png/

Pessoal, alguém pode me ajudar nesse algebrismo pra chegar na resposta?

Abraços,

por PedroCunha Qui 07 Nov 2013, 20:49

Veja:

$\\\left [ \begin{matrix} cosa & sena \\ - sena & cosa \end{matrix} \right] \cdot \left [\begin{matrix} w \\ y \end{matrix} \right] = \left [ \begin{matrix} cos2a \\ sen2a \end{matrix} \right] \therefore \\\\ \left [ \begin{matrix} wcosa + y sena \\ -wsena + ycosa \end{matrix} \right] = \left [ \begin{matrix} cos2a \\ sen2a \end{matrix} \right]\\\\\begin{cases} wcosa + ysena = cos2a \dots I \\ -wsena + ycosa = sen2a \dots II \end{cases}\\\\\text{Multiplicando I por cosa e II por sena, temos:}\\\\III) wcos^2a + ysenacosa = cos2a \cdot cosa \\\\IV) -wsen^2a + ysenacosa = sen2a \cdot sena \\\\\text{Fazendo III - IV}:\\\\wcos^2a + wsen^2a + ysenacosa - ysenacosa = (cos2a \cdot cosa) - (sen2a \cdot sena)\\\\w \cdot (cos^2a + sen^2a)= (cos2a \cdot cosa) - (sen2a \cdot sena) \therefore w = (cos2a \cdot cosa) - (sen2a \cdot sena)\\\\\text{No entanto, da formula da adicao de arcos do cosseno, temos:}\\\\cos(a + b) = cosa \cdot cosb - sena \cdot senb \rightarrow a = 2a, b= a \\\\\text{Logo}:\\\\w = cos(2a + a) \therefore w = cos(3a) \dots V \\\\ \text{Substituindo V em III}:\\\\ y = sen(3a) \\\\ \text{Obs.: O valor de w consegui encontrar sozinho, no entanto o de y tive que \\ utilizar o WolframAlpha e la nao ensinou como foi encontrado} \\\\\rightarrow \text{Para } w = \frac{1}{2}, \text{temos }:\\\\\circ \frac{1}{2} = cos(3a) \therefore cos (\frac{\pi}{3}) + 2k\pi = cos(3a) \therefore 3a = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \therefore a = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \\\\ \circ \frac{1}{2} = cos(3a) \therefore cos(\frac{5\pi}{3}) + 2k\pi = cos(3a) \therefore \frac{5\pi}{3} + 2k\pi = 3a \therefore a = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$

Espero que algum membro possa explicar o porquê do y = sen(3a)

Att.,
Pedro

por Luck Qui 07 Nov 2013, 22:18

https://pir2.forumeiros.com/t58740-matrizes-e-trigonometria
O y vc encontra da mesma forma que w, lembrando que sen(a+b) = senacosb + senbcosa.

ps. pvniciu, nao se esqueça que o enunciado deve ser digitado.

por PedroCunha Qui 07 Nov 2013, 22:41

Não consegui resolver não Luck, Sad

Você poderia mostrar como fazer?

por Luck Qui 07 Nov 2013, 22:47

PedroCunha escreveu:Não consegui resolver não Luck,

Você poderia mostrar como fazer?

veja a solução no link que postei acima, é a mesma questão da letra a).

por PedroCunha Qui 07 Nov 2013, 23:00

Ahh sim..agora vi..muito mais fácil da maneira como fez.

Multiplicando I por sena, temos:

wsenacosa + ysen²a = senacos(2a)

Multiplicando II por cosa, temos:

-wsenacosa + ycos²a = cosasen(2a)

Somando ambas:

ysen²a + ycos2a = senacos(2a) + cosasen(2a)

y* (sen²a + cos²a) = sen(a+2a)

y = sen(3a)

Valeu Luck!

Show de bola!