Potenciação de números complexos

por Kingflare Ter 29 Out 2013, 18:14

Calcule os valores de a e b na equação:

(1+i)^9 * (2-i)³/ (-1-i)^10= a + bi

Caso esteja confuso, segue a imagem:

Potenciação de números complexos Zrze

Desde já, agradeço a ajuda.

por **Elcioschin** Ter 29 Out 2013, 18:57

Vou ensinar o caminho e você continua

z = x + yi ----> z = |z|.(cosθ + i.senθ) ----> z^n = |z|^n.[cos(n.θ) + i.sen(nθ)]

Exemplo: z = 1 + i --->

(1 + i) = [2^(1/2)].(cos45º + i.sen45º) ---> (1 + i)^9 = [2^9/2)].[cos(9.45º + i.sen(9.45º)] --->

(1 + i)^9 = 16.√2.(cos405º + i.sen405º) ---> (1 + i)^9 = 16.√2.(cos45º + i.sen45º) ---->

(1 + i)^9 = 16.√2.[(√2/2) + i.(√2/2)] ----> (1 + i)^9 = 16.(1 + i)

OU então este outro caminho:

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i

(1 + i)^4 = [(1 + i)²]² = (2i)² = 4i² = - 4

(1 + i)^8 = [(1 + i)^4]² = (-4)² = 16

(1 + i)^9 = (1 + i)^8.(1 + i) = 16.(1 + i)

Continue

por **Euclides** Ter 29 Out 2013, 18:59

Se não estou cometendo algum erro, ainda há outro caminho

$\\\frac{(1+i)^9(2-i)^3}{(-(1+i))^9}=a+bi\\\\\\\frac{(1+i)^9(2-i)^3}{(-1)^9(1+i)^9}=a+bi\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{(2-i)^3}{(-1)^9}=a+bi \;\;\;\Rightarrow \;\;\;(2-i)^3=-a-bi\\\\\\2-11i=-a-bi\\a=-2\;\;\;\;\;b=11$

por **Elcioschin** Ter 29 Out 2013, 19:07

Euclides

Seu caminho é mais rápido, porém você digitou errado: o deniminador do 1º membro tem expoente 10 (e não 9)

por **Euclides** Ter 29 Out 2013, 19:26

Elcioschin escreveu:Euclides

Seu caminho é mais rápido, porém você digitou errado: o deniminador do 1º membro tem expoente 10 (e não 9)

Foi mesmo. Tentando corrigir

$\\\frac{(1+i)^9(2-i)^3}{(-(1+i))^{10}}=a+bi\\\\\\\frac{(1+i)^9(2-i)^3}{(-1)^{10}(1+i)^9(1+i)}=a+bi\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{(2-i)^3}{(1+i)}=a+bi \\\\\Rightarrow \;\;\;(2-i)^3=(a+b)i+(a-b)\\\\2-11i=(a+b)i+(a-b)\\a+b=-11\\a-b=2 \;\;\;\Rightarrow \;\;\;a=-\frac{9}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;b=-\frac{13}{2}$