Polinômio - Raízes Racionais

por Davi Cesar Correia Jr. Ter Out 22 2013, 08:07

Me deparei com o seguinte polinômio, tendo que encontrar as raízes:

P(x) = x^3 + 3x^2 + 7x + 15

Ao aplicar o Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes são: +-1; +-3; +-5; +-15.
Porém, nenhuma delas cabe!!

Porque? O que está errado?

por **Elcioschin** Ter Out 22 2013, 11:20

Não existe nada errado: uma das raízes é irracional e duas são complexas:

x' ~= - 2,5568
x" ~= - 0,2216 + 2,4120.i
x'" ~= - 0,2216 - 2,4120.i

Input:

Polinômio - Raízes Racionais Gif&s=57&w=152.&h=18

Root plot:
Polinômio - Raízes Racionais Gif&s=22&w=300.&h=180

por Davi Cesar Correia Jr. Ter Out 22 2013, 11:32

Mas Elcio, se uma das raízes sao irracionais (claro que não é, mas suponhamos que seja, sei lá, (3)^1/2), o seu conjugado também não deveria ser raiz?
Porque, se o conjugado não é raiz, então os coeficientes não poderiam ser todos inteiros...

por Luck Ter Out 22 2013, 17:42

Davi Cesar Correia Jr. escreveu:Mas Elcio, se uma das raízes sao irracionais (claro que não é, mas suponhamos que seja, sei lá, (3)^1/2), o seu conjugado também não deveria ser raiz?
Porque, se o conjugado não é raiz, então os coeficientes não poderiam ser todos inteiros...

Se 3^(1/2) fosse uma raiz, o conjugado tb seria, mas não é o caso. A raiz irracional dessa equação não é da forma a + b√c ,com a,b racionais e √c irracional, então nao vale o teorema das raízes irracionais. Essa equação n tem um método bom para resolver manualmente..

por Davi Cesar Correia Jr. Qua Out 23 2013, 10:28

Ah bom. Obrigado!! E então não há uma certeza quanto isso? Me refiro ao fato de: quando saber se o Teorema das Raízes Irracionais e Racionais é válido ou não?

por Luck Qua Out 23 2013, 14:34

Davi Cesar Correia Jr. escreveu:Ah bom. Obrigado!! E então não há uma certeza quanto isso? Me refiro ao fato de: quando saber se o Teorema das Raízes Irracionais e Racionais é válido ou não?

Sim é válido, mas o teorema das raízes racionais nao diz que sempre vai existir uma raíz racional, e sim que se possuir uma raiz racional p/q , mdc(p,q) = 1 , p será divisor de ao e q divisor de an. Mesma coisa o das raízes irracionais conjugadas, se um polinômio possuir uma raiz irracional da forma a+ b√c (obedecendo as condições dos coeficientes do polinômio serem racionais) então o conjugado tb será.