Raízes racionais

P53. Resolva a equação x³-3x²+4x-2=0, sabendo que 1+i é uma das suas soluções.




Resposta: S = { 1-i , 1+i , 1 }

Teorema das raízes complexas

Toda raiz complexa implica numa outra raiz complexa conjugada:

Sejam r, s, t as três raízes:

r = 1 + i ---> s = 1 - i ---> t = ?

x³ - 3.x² + 4.x - 2 = 0 ---> Fatorando:

x³ - 3.x² + 4.x - 2 = [x - r].[x - s].(x - t) = 0 ---> 

x³ - 3.x² + 4.x - 2 = [x - (1 + i)].[x - (1 - i)].(x - t) = 0 --->

x³ - 3.x² + 4.x - 2 = [(x - 1) - i].[(x - 1) + i].(x - t) = 0 

x³ - 3.x² + 4.x - 2 = [(x - 1)² - i²].(x - t) = 0

x³ - 3.x² + 4.x - 2 = (x² - 2.x + 2).(x - t) = 0

x³ - 3.x² + 4.x - 2 = x³ - (t + 2).x² + (2.t + 2).x - 2.t = 0 

Comparando termo a termo:

- (t + 2) = - 3 --> t = 1
2.t + 2 = 4 -----> t = 1
- 2.t = - 2 ------> t = 1

Obg. Não sabia que tinha esse jeito.
Kkk
Tinha esquecido da outra forma.

Por girard

(1+i)+(1-i)+x=3
x=1