Geometria - área

por **raimundo pereira** Dom 29 Set 2013, 13:02

No triângulo ABC , temos AB=6cm, BC=7cm e AC=9cm. A circunferência inscrita é tangente aos lados AB e AC nos pontos M e N respectivamente. Calcular em cm² a área de AMN.

Resp. 16/27(V110)cm²

Resol por geometria euclidiana.

att: :vfg:

por **adriano tavares** Qua 02 Out 2013, 22:44

Olá,raimundo pereira.

Vamos chamar de P o ponto de tangência entre a circunferência e o lado BC.Seja MB=a
Pela propriedade das tangentes teremos:

$AM=AN\\BM=BP\\CN=CP$

$AN+NC=9 \Rightarrow 6-a+7-a=9 \Rightarrow a=2$

Note que o triângulo AMN é isósceles.

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC encontraremos $cosA=\frac{17}{27}$

O senA é dado por:

$senA =\sqrt{1-cos^2A} \Rightarrow senA =\sqrt{1-\left ( \frac{17}{27} \right )^2} \Rightarrow senA= \frac{2\sqrt{110}}{27}$

$A_{AMN}=\frac{4.4senA}{2}\Rightarrow A=\frac{4.4.2\frac{\sqrt{110}}{27}}{2} \Rightarrow A_{AMN}=\frac{16\sqrt{110}}{27}$

por **raimundo pereira** Qui 03 Out 2013, 06:35

Obrigado Adriano , ótima resolução.

Outro modo sem trigonometria.

AM=AN=x
x=p-BC---->11-7=4

S(ABC)=Vp(p-a)(p-b)(p-c)---->11.5.2.4---2V110
S(AMN)/S(ABC)=x.x/6.9---->S(AMN)/2V110=4.4/6.9---->
S(AMN)=(16/27).V110

att

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