Perpendicularidade - Curva - Esfera
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Perpendicularidade - Curva - Esfera
por Convidado Seg 23 Set 2013, 17:11
(Livro: Cálculo - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 26 - Pág.: 742) Se uma curva 
tem a propriedade de o vetor posição  "\alpha (t)")
estar sempre perpendicular ao vetor tangente  "\alpha '(t)")
, mostre que essa curva está contida em uma esfera de centro na origem.
Como faço isso?
Como faço isso?
Convidado- Convidado
Re: Perpendicularidade - Curva - Esfera
por hygorvv Seg 23 Set 2013, 20:27
Seja a(t)=(x(t) , y(t) , z(t))
||a(t)||² = x²(t) + y²(t) + z²(t)
Derivando implidicamente, obtemos:
2||a(t)||.||a'(t)||= 2x(t).x'(t) + 2y(t).y'(t) + 2z(t).z'(t)
||a(t)||.||a'(t)|| = x(t).x'(t) + y(t).y'(t) + z(t).z'(t) = 0 (por hipótese)
Logo, ||a(t)|| = cte = c
Assim, obtemos:
x²(t) + y²(t) + z²(t) = c² que é a equação de uma esfera centrada na origem.
Espero que te ajude e que seja isso.
||a(t)||² = x²(t) + y²(t) + z²(t)
Derivando implidicamente, obtemos:
2||a(t)||.||a'(t)||= 2x(t).x'(t) + 2y(t).y'(t) + 2z(t).z'(t)
||a(t)||.||a'(t)|| = x(t).x'(t) + y(t).y'(t) + z(t).z'(t) = 0 (por hipótese)
Logo, ||a(t)|| = cte = c
Assim, obtemos:
x²(t) + y²(t) + z²(t) = c² que é a equação de uma esfera centrada na origem.
Espero que te ajude e que seja isso.
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