Derivada Direcional

Variação de temperatura ao longo de uma circunferência: suponha que a temperatura em graus Celsius em um ponto (x, y) no plano xy seja  e que a distância no plano xy seja medida em metros. Uma partícula está se movendo no sentido horário ao redor da circunferência de raio 1 metro centrada na origem a uma taxa constante de 2 m/s.
a) qual é a velocidade da variação da temperatura sentida pela partícula, em graus Celsius por metro, no ponto  ?
b) qual é a velocidade da variação da temperatura sentida pela partícula em graus Celsius por segundo em P?




Respostas:

Vetor OP:
(1/2 ; sqrt(3)/2)

Versor de OP (unitário) u,
u=(1/||OP||).OP
||OP||=sqrt(1+3)/2=1 (como era de se esperar, pois temos uma circunferência de raio 1).
u=OP=(1/2 ; sqrt(3)/2)
Grad T(x,y)=(sin(2y), 2xcos(2y))
dT/ds = gradT.u
dT/ds = sin(2y)/2 + sqrt(3)xcos(2y)
dT/ds | (1/2, sqrt(3)/2) = sen(sqrt(3))/2 + sqrt(3).cos(sqrt(3))/2 (O resultado apresentado está diferente pois ele utilizou outro ponto. O ponto P(sqr(3)/2 , -1/2) )
b)
dT/ds=sin(2y)/2 + sqrt(3)xcos(2y)
mas, ds=vdt
ds=2.dt
Assim,
dT/2dt=sin(2y)/2 + sqrt(3)xcos(2y)
dT/dt=2(sin(2y)/2 + sqrt(3)xcos(2y))
dT/dt=2(sen(sqrt(3))/2 + sqrt(3).cos(sqrt(3))/2)
dT/dt=sen(sqrt(3)) + sqrt(3).cos(sqrt(3))

Espero que te ajude e que seja isso.