Equação Trigonométrica

por Chronoss Ter 13 Ago 2013, 11:05

Resolva a equação dada abaixo no conjunto-universo U = [ 0 ; 2∏]

$\large sen\left ( 2x\: +\:4 \right ) \: =\: \frac{1}{3}$

Gabarito:

por Luck Qua 14 Ago 2013, 00:59

sen(θ) = 1/3
θ = arcsen(1/3) + 2kpi ou θ = pi - arcsen(1/3) + 2kpi , k ∈ Z
2x + 4 = arcsen(1/3) + 2kpi
2x = arcsen(1/3) -4 + 2kpi
x = (1/2)arcsen(1/3) -2 + kpi , na primeira volta , k=1,2 (k = 0 teríamos x negativo e k = 3 ultrapassa)
x = (1/2)arcsen(1/3) + pi-2
x = (1/2)arcsen(1/3) + 2pi - 2

2x+4 = pi - arcsen(1/3) + 2kpi
2x = pi+2kpi -arcsen(1/3) -4
x = pi/2 + kpi -2 -(1/2)arcsen(1/3) , k = 1, 2
x = (3pi/2) -2 - (1/2)arcsen(1/3)
x = (5pi/2) - 2 -(1/2)arcsen(1/3)

por Chronoss Qua 14 Ago 2013, 09:33

O -2 seria em rad correto? E como seria para encontrar o valor de k que satisfaz para o intervalo dado, caso tivermos no lugar de -2 rad um valor indeterminado, por exemplo -a rad ? Isso é possível?

por Luck Qua 14 Ago 2013, 14:32

Chronoss escreveu:O -2 seria em rad correto? E como seria para encontrar o valor de k que satisfaz para o intervalo dado, caso tivermos no lugar de -2 rad um valor indeterminado, por exemplo -a rad ? Isso é possível?

O ângulo θ é uma incógnita que no caso vale 2x +4 , por isso o -2 que aparece ao isolar x nao deve ser discutido separadamente, o ângulo será em graus se vc trabalhar com graus (k360º) e radianos se trabalhar com radianos (2kpi)..
E nao dá pra generalizar como vc mencionou, se o valor constante for desconhecido nao se pode atribuir valores para uma volta.

por Chronoss Qua 14 Ago 2013, 15:16

Obrigado Luck.

por spawnftw Qui 15 Ago 2013, 00:13

o luck por que isso?

"ou θ = pi - arcsen(1/3) + 2kpi"

na segunda linha da sua solução

por spawnftw Qui 15 Ago 2013, 17:14

por Luck Qui 15 Ago 2013, 18:33

spawnftw escreveu:o luck por que isso?

"ou θ = pi - arcsen(1/3) + 2kpi"

na segunda linha da sua solução

Na primeiro volta há dois ângulos cujo seno é 1/3, x e (pi-x) , pois sen(x) = sen(pi-x) ,que vc vê rapidamente no círculo trigonométrico ou usando arco-soma..
ex: sen(θ) = 1/2 , θ ∈ [ 0,2pi] :
θ = pi/6 ou θ = (pi - pi/6) = 5pi/6

por spawnftw Qui 15 Ago 2013, 20:16

Luck escreveu:
spawnftw escreveu:o luck por que isso?

"ou θ = pi - arcsen(1/3) + 2kpi"

na segunda linha da sua solução
Na primeiro volta há dois ângulos cujo seno é 1/3, x e (pi-x) , pois sen(x) = sen(pi-x) ,que vc vê rapidamente no círculo trigonométrico ou usando arco-soma..
ex: sen(θ) = 1/2 , θ ∈ [ 0,2pi] :
θ = pi/6 ou θ = (pi - pi/6) = 5pi/6

Obrigado Luck, ficou claro agora! ^^