Matrizes inversíveis

por DaviBahia Sex 19 Jul 2013, 15:21

Obtenha a matriz X nos dois casos abaixo, se A, B e C são matrizes inversíveis.

=> A.X = B

=> A.X.B = C

(Não tenho gabarito)

por 150nandu150 Sex 19 Jul 2013, 16:07

Multiplique os dois lados pelo inverso de A, sim, estou ciente de que nao possui inversa, mas da mesma forma é possível segundo meus professores e livros, usar A-¹ dessa forma.
=> A.X = B
A-¹.AX = B.A-¹
X= B.A-¹

=> A.X.B = C
A.B.X = C
A-¹.A.B.X= C.A-¹
B.X = C.A-¹
B-¹.B.X = C.(A.B)-¹
X = C.(A.B)-¹

Lembre-se que a divisão de matrizes ainda não foi definida, fica a dica.

por DaviBahia Sex 19 Jul 2013, 19:21

Entendi.

Muito obrigado, nandu.

por DaviBahia Sex 19 Jul 2013, 19:59

Nandu, uma dúvida: acho que não é válido o uso de (A.B)^-1. Nunca vi essa propriedade de agrupamento para produto de inversas, somente para o de transpostas. Concorda?

por 150nandu150 Sex 19 Jul 2013, 22:00

Segundo meus livros, da mesma forma que A^t.B^t = (A.B)^t, a-¹.b-¹= (a.b)-¹.
Encontrei essa mesma propriedade.
Andei pesquisando para garantir e segundo o Instituto Gauss de Matemática também existe, segue o link:
http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=73:matri

por DaviBahia Sex 19 Jul 2013, 22:14

Entendi

Muito obrigado mais uma vez, nandu.

por Luck Sáb 20 Jul 2013, 16:39

150nandu150 escreveu:Multiplique os dois lados pelo inverso de A, sim, estou ciente de que nao possui inversa, mas da mesma forma é possível segundo meus professores e livros, usar A-¹ dessa forma.
=> A.X = B
A-¹.AX = B.A-¹
X= B.A-¹

=> A.X.B = C
A.B.X = C
A-¹.A.B.X= C.A-¹
B.X = C.A-¹
B-¹.B.X = C.(A.B)-¹
X = C.(A.B)-¹

Lembre-se que a divisão de matrizes ainda não foi definida, fica a dica.

Olá nandu, tem um pequeno erro na sua solução. Ao multiplicar por Aˉ¹ à esquerda no outro lado da expressao vc tb deve multiplicar à esquerda, pois matrizes nao sao comutativas , ou seja , BAˉ¹ # ABˉ¹, entao ficaria:
AX = B
Aˉ¹ A X = Aˉ¹ B
X = Aˉ¹B

A.B.X = C
Aˉ¹A.B.X = Aˉ¹C
B X = Aˉ¹C
Bˉ¹B X = Bˉ¹Aˉ¹ C
X = (AB)ˉ¹C , lembrando da propriedade (XY)ˉ¹ = Yˉ¹Xˉ¹ (cuidado com a ordem!) , equivalente da transposta (XY)^t =Y^t.X^t

"estou ciente de que nao possui inversa" , a matriz possui inversa pois foi dita que é inversível , matriz nao inversível é chamada de singular.