Prove que se A,B e C são matrizes inversíveis de ordem

Prove que se A,B e C são matrizes inversíveis de ordem n, então [latex](ABC)^{-1}[/latex] =  [latex]C^{-1}B^{-1}A^{-1}[/latex]

Depende da sua definição de inversa.

Definição: Uma matriz quadrada [latex] A [/latex] é invertível se existe matriz [latex]B [/latex] tal que [latex]AB =BA =  I [/latex]. (Antom)

Lema: A inversa de uma matriz é única. (Prova no Antom)

Definição: Se A é invertível, escrevemos [latex]A^{-1} = B [/latex] sendo B a única matriz tal que [latex]AB = BA = I [latex].

Logo para fazer o exercício, basta mostrar que tomando [latex] D = C^{-1}B^{-1}A^{-1}[/latex], temos [latex] (ABC)D = D(ABC) = I [/latex].

De fato, temos 
[latex] \begin{align*}
(ABC)D &= (ABC) C^{-1}B^{-1}A^{-1}\\~\\
&= (AB)(CC^{-1})(B^{-1}A^{-1}) \\~\\
&= (AB)I(B^{-1}A^{-1})\\~\\
&= (AB)(B^{-1}A^{-1})\\~\\
&= A(BB^{-1})A^{-1}\\~\\
&= AIA^{-1}\\~\\
&= AA^{-1}\\~\\
&= I
\end{align*}
[/latex]

Vou deixar para você mostrar que [latex] D(ABC) = I [/latex].