Sejam A e B matrizes inversíveis de mesma ord

por OliviaTate Sex 12 Jun 2015, 01:55

Sejam A e B matrizes inversíveis de mesma ordem. Resolver a equação [ A(X*B)^t ]^-1 = B

Gabarito:

por **Adeilson** Sex 12 Jun 2015, 20:20

\[\text{Da equacao}\,\,\,[A(XB)^T]^{-1}=B,\,\,\text{temos:}\,\,\, ((XB)^T)^{-1}\cdot A^{-1}=B \rightarrow \\\\ ((XB)^T)^{-1}\cdot A^{-1}\cdot A=B\cdot A\rightarrow \,\,((XB)^T)^{-1}=BA,\,\,\text{entao}\\\\ (XB)^{T}\cdot (BA)=I \rightarrow \left [ (XB)^{T}\cdot (BA) \right ]^{T}=I^{T}\rightarrow (BA)^{T}\cdot (XB)=I\rightarrow \\\\ \left [(BA)^{T} \right ]^{-1}\cdot (BA)^{T}\cdot (XB)= \left [(BA)^{T} \right ]^{-1}\cdot I \rightarrow XB=\left [(BA)^{T} \right ]^{-1}\rightarrow \\\\ XB\cdot B^{-1}=\left [(BA)^{T} \right ]^{-1}\cdot B^{-1}\rightarrow X=\left [ B\cdot(BA)^{T} \right ]^{-1}=\left [ (BA)^{-1} \right ]^{T}\cdot B^{-1}.\]

por **Adeilson** Sex 12 Jun 2015, 20:21

por OliviaTate Sáb 13 Jun 2015, 05:59

Mestre Adeilson, não entendi o motivo dessa conclusão:
$\ (XB)^{T}\cdot (BA)=I$

por **Adeilson** Sáb 13 Jun 2015, 22:43

Como ((XB)^T)^(-1)=BA então isso quer dizer que (XB)^T é a matriz inversa da matriz BA, então por definição, teremos que:
((XB)^T)^(-1).BA=BA.((XB)^T)^(-1)=I
Para ficar mais claro, chame a matriz (XB)^T de D e chame a matriz BA de E, então:
D^(-1)=E, logo DE=ED=I, pois D é a inversa de E.