Vertices de um paralelogramo

Seja P o paralelogramo ABCD, cujas diagonais s˜ao perpendiculares e
se cortam no ponto M = (2, 2). Se A = (1, 1) e o comprimento de lado
AB é igual a √10, determine os outros vértices de P.

- marque no plano coordenado os pontos A( 1, 1 ) e M( 2, 2 )

- seja a circunferência de centro A( 1, 1 ) e raio \/10

( x - 1 )² + ( y - 1 )² = 10

x² + y² - 2x - 2y - 8 = 0 (I)

- reta por A e M:

y = x

- reta perpendicular a y = x passando por M( 2, 2 ):

m = - 1

y - 2 = - 1*( x - 2 )

y - 2 = - x + 2

y = - x + 4 (II)

- interseção de (II) com (I):

x² + ( - x + 4 )² - 2x - 2*(- x + 4 ) - 8 = 0

x*( 2x - 8 ) = 0

x = 0 ou x = 4

para x = 0 -> y = 4 -> B( 0, 4 )

para x = 4 -> y = 0 -> D( 4, 0 ) 


- reta por A e D:

( y - 1 )/ ( 4 - 1 ) = ( x - 1 )/0 - 1 )

y = - 3x + 4 (III)

- reta paralela a (III) por B( 4, 0 ):

m = - 3

y - 0 = - 3*( x - 4 )

y = - 3x + 12 (IV)

- interseção de (III) com y = x:

- 3x + 12 = x

- 4x = - 12 -> x = 3 -> y = 3

C( 3, 3 )