(UFF) Trapézio inscrito.

por vzz Qui 13 Jun 2013, 20:49

Alguém poderia me ajudar com essa questão, por favor?
O trapézio MNPQ da figura a seguir está inscrito em uma circunferência de raio 1 e MQ contém o centro O.

(UFF) Trapézio inscrito. Trape

A sua área é:
a)2 sen alfa
b)sen 2 alfa
c)sen alfa (1+cos alfa)
d)cos 2 alfa
e) cos alfa (1+sen alfa)

Gabarito letra c.

Bom o que eu tentei fazer foi, ao dividir o trapézio em 3 triângulos, percebe-se que eles são congruentes pois possuem os mesmo lados.

Calculando a área de um triângulo
1x1xsen alfa/2 resultando em Sen alfa/2

Eis minha dúvida; Como são três triângulos iguais, ficaria 3 sen alfa/2 ou sen 3 alfa/2 ?

De qualquer modo, não consegui chegar na resposta.

Obrigado desde já.

por **ivomilton** Qui 13 Jun 2013, 21:33

vzz escreveu:Alguém poderia me ajudar com essa questão, por favor?
O trapézio MNPQ da figura a seguir está inscrito em uma circunferência de raio 1 e MQ contém o centro O.

A sua área é:
a)2 sen alfa
b)sen 2 alfa
c)sen alfa (1+cos alfa)
d)cos 2 alfa
e) cos alfa (1+sen alfa)

Gabarito letra c.

Bom o que eu tentei fazer foi, ao dividir o trapézio em 3 triângulos, percebe-se que eles são congruentes pois possuem os mesmo lados.

Calculando a área de um triângulo
1x1xsen alfa/2 resultando em Sen alfa/2

Eis minha dúvida; Como são três triângulos iguais, ficaria 3 sen alfa/2 ou sen 3 alfa/2 ?

De qualquer modo, não consegui chegar na resposta.

Obrigado desde já.

Boa noite.

Área de cada triângulo equilátero = b*h/2 = [1*(√3/2)]/2
Área do trapézio = área dos 3 *√3/4

Podemos transformar isso em:
3√3/4 = 3/2 * √3/2 ............... (I)

Ora,
1/2 = cos 60° = cosα
√3/2 = sen 60º = senα

(1 + cosα) = 1 + 1/2 = 3/2
senα = √3/2

Comparando com (I), fica:
3/2 * √3/2 = (1 + cosα) * senα

Alternativa (c)

Um abraço.