Solução geral

Como eu acho a solução geral de:
y’’(t)-y(t)=t²


Grato.

Queremos resolver:



Sabemos que a solução da eq homogênea:



é:



Espero que não haja problemas quanto a isso. Para o caso particular teremos que ""alterar"" essa solução para que ela resulte ainda com um polinômio t^2.
Existem regras e muito blábla´bla, mas um bom raciocínio é sempre o melhor caminho. Se a combinação linear daquelas duas exponenciais são a solução de:



Basta adicionar algo à aquela solução, que satisfaça a mesma equação,mas a fim de simplificar esteja simplesmente somada. Observe que parte da equação não contem derivada, e outra uma derivada segunda. Seja P um polinômio de grau a definir, exigindo:



Qual deve ser grau desse polinômio? O mesmo do lado direito. se polinômio é de segundo gral, sua derivada segundo será uma constante c. Voltando a Equação:



Já que 2c é sua derivada segunda. Asim é fácil concluir que:



ora, esse polinômio pode ser somado a solução da eq homogênea, mas devemos tomar cuidado quanto a posicionamento das constantes de contorno:



Que é a solução geral.