Semelhança de triângulos

Dois círculos de raios R e r são tangentes exteriormente no ponto A. Sendo C e D os pontos de tangência de uma reta t externa, com os dois círculos, determine a altura do triângulo ACD relativa ao lado CD.

Spoiler:

Olá Gabriel vou dá uma sugestão , pode ser que você queira encarar.
No desenho ACD é retângulo, já provei isso num post aqui no PIR.
CD, hipotenusa use Pitágoras no triângulo BCD.

Use o Teorema de Tales para achar as projeções da altura sobre a hipotenusa e depois use h²=m.n


att

Valeu a sugestão Raimundo! Eu encontrei um desenho parecido com o que você fez, mas não pensei em usar as relações do triângulo retângulo.

Eu tenho uma pergunta: a altura no ACD, relativa ao lado CD, é necessariamente tangente às circunferências? Porque, se isso ocorrer, os dois ângulos centrais relativos vão ser retos!

E pode me passar o link da sua demonstração? Obrigado!

Gabriel estou de saida . Essa demonstração faz mais de um ano que fiz,em uma resolução junto com o Vinicius Coelho, depois vou procurar com calma. Outra coisa.
Sobre calcular os catetos usando a relação b²=a.m, falei bobagem , pensemos um pouco mais..

Gabriel veja a nova sugestão ( editada)

Vou usar o desenho do Raimundo com uma pequena modificação:

Por O trace uma perpendicular a DO" e seja P o pé desta perpendicular:

PD = OC = r ----> PO" = DO" - PD ----> PO" = R - r

Por A trace uma perpendicular a CD (paralela a DO" e CO) e seja H o pé da perpendicular em CD. AH é a altura h do triângulo ACD (relativa a CD). AH NÃO é tangente às duas circunferências

Seja Q o ponto de contato de AH com OP

Triângulos OPO" e OQA são semelhantes ----> AQ/OA = PO"/OO" ----> AQ/r = (R - r)/(R + r)

AQ = r.(R - r)/(R + r)

AH = QH + AQ -----> h = r + r.(R - r)/(R + r) ----> h = r.(R + r + R - r)/(R + r) ----> h = 2Rr/(R + r)

Valeu mestre Elcio , mais simples ainda.

att

Agradeço muito as resoluções e atenção, Elcio e Raimundo!

Não tinha prestado atenção no paralelismo das três retas (ambas perpendiculares a uma quarta, todas coplanares), formando retângulos... nem que CD era a soma das projeções da altura e, que, portanto, deveria valer h² = m.n

Sacada de mestre, gente!

raimundo pereira escreveu:
Olá Gabriel vou dá uma sugestão , pode ser que você queira encarar.
No desenho ACD é retângulo, já provei isso num post aqui no PIR.
CD, hipotenusa use Pitágoras no triângulo BCD.

Use o Teorema de Tales para achar as projeções da altura sobre a hipotenusa e depois use h²=m.n


att

Raimundo, sobre o seu desenho... Podemos dizer que o triângulo ACD é retângulo em A?

Caramba, muita boa a questão.

Quero ver a solução postada com mais calma, tô em processo de aprendizado e bem longe de resolver questões como essa sozinho. Mas reforço a última pergunta do Gabriel. Depois devo aparecer com alguma dúvida boba sobre a questão, ok?

Abraços.