Máximos e Mínimos

Analise a função quanto aos máximos e mínimos no intervalo dado

f(x) = |x^4 - 2x^3| no intervalo I = [0,3]


Minha dúvida está em como proceder nos pontos desse intervalo em que a função não é derivável. Obrigada

Oi Gi.

Decomponha essa função em partes e iguale a função derivada a zero.

Não tem motivos para se preocupar com os pontos não diferenciáveis. Você só precisa saber onde a derivada é nula, pois é nesse local que ocorrem pontos de máximo e de mínimo.

Obrigada Leo, era o que eu tinha feito mesmo

Máximos e mínimos de:


f(x) = | x⁴ - 2x³ | em [0; 3] ?


a) Raízes

x⁴ - 2x³ = 0

x³(x - 2) = 0

r1 = r2 = r3 = 0 ; r4 = 2


b) Sinais

x³ > 0 --> x > 0

x - 2 > 0 -->x > 2

x³(x - 2) > 0 --> x > 2 ou x < 0


c) Definição de f(x)

Se x ∈ (-∞; 0] ∪ [2; +∞)

f(x) = x⁴ - 2x³

Senão

f(x) = 2x³ - x⁴


d) Derivadas f'(x) e f"(x)

(i) f'(x) = 4x³ - 6x² ; 6x² - 4x³

4x³ - 6x² = 0

2x²(2x - 3) = 0

r1 = r2 = 0 e r3 = 3/2 ∈ (0; 2)


(ii) f"(x) = 12x² - 12x ; 12 - 12x²

12x² - 12x = 0

r1 = 0 ; r2 = 1∈ (0; 2)

Dois pontos de pontos de inflexão ?

Não ! O zero também é mínimo ou máximo !

lim [x→0-](x⁴ - 2x³) = 0 = lim [x→0+](- (x⁴ - 2x³))

E a função é derivável em x = 0

Vamos estudar o sinal da 1ª derivada à esquerda de 0:

f'(x) = 4x³ - 6x²

f'(-1) = 4(-1)³ - 6(-1)² = - 4 - 6 = -10 < 0

Agora a direita:

f'(x) = - (4x³ - 6x² )

f'(1) = - (4x³ - 6x² ) = -(4(1)³ - 6(1)²) = -(4 - 6) = 2 > 0

Temos em x = 0 um Candidato a Mínimo Relativo

Para se testar o x = 3/2 , que está em (0; 2) temos que usar a 2ª derivada na 2ª forma:

f"(x) = 12 - 12x²

f"(3/2) = 12 - 12(3/2)² < 0 --> Candidato a Máximo Relativo

Agora vamos tabelar para esboçarmos o gráfico:

x	-∞	-1	0	1	1,5	2	3	+∞
y	+	+	0	+	+	0	+	+∞
y'	–	–	0	+	0	0	+	+∞
y”	+	+	0	0	–	–	+	+∞
E	\	\	—	∫	—	\/	/	+∞

Oi rihan. Qual a necessidade do uso da segunda derivada e dos sinais no - infinito e + infinito? A função está sendo analisada somente no intervalo. Não bastaria analisar somente os sinais da primeira derivada, achar os intervalos de crescimento e decrescimento e verificar os pontos de máximo e mínimo internos e de fronteira?

Como esssa função é continua, O Teorema de Weiestrass garante que existem máximos e mínimos no intervalo I.


Obrigada

Oi Gii ! !

Para funções reais de uma variável real é sempre interessante termos uma ideia visual...

Eu sempre faço uma análise através dessa tabela, nada mais do que um método simples e sintético.

As primeiras derivadas nos mostram crescimento, decrescimento e pontos extremos relativos (locais) ou absolutos (globais). Estudando a variação no entorno desses pontos podemos saber como são as concavidade dessas curvas ("alegres" ou "tristinhas") e, por conseguinte, se são mínimos ou máximos, respectivamente.

As segundas derivadas nos informam os pontos de inflexão, aqueles onde as curvas mudam de humor...

Mas, alternativamente, a depender das complexidades das funções, podemos usá-las para sabermos os humores das curvas. Eu fiz das duas formas, para ressaltar...

Se o valor para o ponto extremo, for positivo, sorridente, temos um mínimo, se for nulo, uma inflexão, negativo, tristinha, temos um máximo:

f"(e) > 0 --> min
f"(e) = 0 --> inflexão
f"(e) < 0 --> MAX

Depois de esboçarmos, fica mais visível e fácil o estudo analítico no intervalo que quisermos.

Né ?

Como sempre, muito bem ! Continue assim ! Ao infinito e além !

Ah entendi, foi só pra fazer o esboço mesmo

Você tem razão, visualmente fica mais fácil até de comparar com os resultados que você chegará e saberá se está ou não errado através dessa noção.


Obrigada pela ajuda e mais uma vez pela super atenção e bela resolução.

Até!