Trapézio - Teorema de Tales

No trapézio abaixo, M e N são os pontos médios de AD e BC, respectivamente. Prove que MN é a média aritmética de AB e CD.




OBS: Não tenho o gabarito.

Dá pra ser resolvido pela noção de base média de um trapézio.

"Se um segmento de reta possui extremidades nos pontos médios dos lados não bases de um trapézio, então esse segmento é paralelo às bases e equivale à sua semi-soma".

Então, MN é igual a AD+BC/2.

Isso aí é uma propriedade que deriva da base média do triângulo. Dá pra demonstrar também, pois essa demonstração não é muito difícil. Se quiser, eu a posto aqui.

Você pode postar por favor? Vlew

(não to conseguindo postar as imagens, então postarei o procedimento e qualquer dúvida você avisa, tudo bem?)

Trace, a partir de A, um segmento que passe por N e encontre a reta de BC em algum ponto X. Observe os triângulos ABN e NDX.

Ângulos NDX e ABN congruentes, pois AB é paralelo a CD (alternos internos).
Ângulos XND e ANB congruentes, pois são o.p.v.
Lados ND e BN congruentes, pois N é ponto médio de BD, por hipótese.
Por isso, os triângulos em questão são congruentes, implicando que NX é congruente a AN e que DX é congruente a AB.

Observe, agora, o triângulo ACX. Como AN=NX e M é ponto médio de AC, o segmento MN é base média desse triângulo. Então, esse segmento deve ser paralelo a base do triângulo e medir metade dela.

MN = CX/2 ; MN paralelo a CX.

Mas DX = AB e CX = CD + DX (segmentos aditivos). Se DX = AB:

MN = (CD + AB)/2, c.q.d.