Dúvida conceitual(Derivada funções compostas)

por Man Utd Qui 16 maio 2013, 19:07

Porque a função:

$Dúvida conceitual(Derivada funções compostas) Gif$ , é do tipo: $Dúvida conceitual(Derivada funções compostas) Gif$ , e a função $Dúvida conceitual(Derivada funções compostas) Gif$ é do tipo: $Dúvida conceitual(Derivada funções compostas) Gif$ , não consigo perceber a diferença,alguém pode me ajudar?(eu até entendo a 1 função,mas não entendi porque a segunda função é diferente)

Grato desde já. cheers

por **Elcioschin** Qui 16 maio 2013, 20:07

f(x) = e^(x²) ----> A base é uma constante e o expoente variável ----> f(x) = e^g(x) onde g(x) = x²

h(x) = x^x ----> Tanto a base, como o expoente são variáveis ----> h(x) = f(x)^g(x) onde f(x) = g(x) = x

Esta é a diferença

por Man Utd Qui 16 maio 2013, 20:59

Elcioschin,toda vez que eu tiver uma função do tipo: $Dúvida conceitual(Derivada funções compostas) Gif$ , tenho que usar a fórmula:

$[f(x)^{g(x)}]'=f(x)^{g(x)}*[g(x)*lnf(x)$ obrigatoriamente correto?

e as funções compostas de outros tipos uso regra da cadeia normalmente né?

Edit:não estou conseguindo colocar a fórmula acima em latex diretamente no fórum. Embarassed

por **Euclides** Qui 16 maio 2013, 22:05

$\\y=f(x)^{g(x)}\;\;\to\;\;y=u^v\\\\\ln y=v\ln u\\D(\ln y)=D(v.\ln u)\\\\\frac{y'}{y}=v'\ln u+\frac{vu'}{u}\;\;\to\;\;y'=yv'\ln u+\frac{yvu'}{u}\\\\mas\;\;\;y=u^v\\\\\boxed{y'=v'u^v\ln u+vu^{v-1}u'}$
_________________
analogamente:

$\\y=e^x\\\\D(\ln y)=D(x\ln e)\\\\\frac{y'}{y}=1\;\;\to\;\;y'=y\;\;\;\to\;\;\;\boxed{y'=e^x}$
______________
sempre que uma função tiver um expoente a técnica de tomar ln de ambos os lados e derivar é muito eficiente.