Colégio Naval - 1982, MDC e MMC

por wbao Qua 15 maio 2013, 19:15

Para valores de x inteiros e x>=2(''maior ou igual''), os inteiros P e Q tem para expressões P= x² + 2x -3 e Q= ax² + bx + c e o produto do máximo pelo mínimo múltiplo comum desses números, P e Q dá x^4 + 5x³ - x² - 17x + 12. A soma de a, b e c é?
a)0
b)8
c)6
d)2
e)1

por **ivomilton** Qua 15 maio 2013, 22:32

wbao escreveu:Para valores de x inteiros e x>=2(''maior ou igual''), os inteiros P e Q tem para expressões P= x² + 2x -3 e Q= ax² + bx + c e o produto do máximo pelo mínimo múltiplo comum desses números, P e Q dá x^4 + 5x³ - x² - 17x + 12. A soma de a, b e c é?
a)0
b)8
c)6
d)2
e)1

Boa noite,

P = x² + 2x - 3
Q = ax² + bx + c

mdc(PQ) * mmc(PQ) = PQ

PQ = x⁴ + 5x³ - x² - 17x + 12 ............................................. (I)
PQ = (x² + 2x - 3)(ax² + bx + c)
PQ = ax⁴ + (2a+b)x³ + (-3a+2b+c)x² + (-3b+2c)x - 3c ........ (II)

Fazendo, entre (I) e (II), a devida correspondência entre os coeficientes de x, vem:
a = 1
2a + b = 5
-3a + 2b + c = -1
-3b + 2c = -17
-3c = 12

Fazendo as substituições, fica:
2a + b = 5 → 2*1 + b = 5 → 2+b = 5 → b = 5-2 → b=3
-3a + 2b + c = -1 → -3*1 + 2*3 + c = -1 → -3+6+c = -1 → c = -1+3-6 → c=-4
-3b + 2c = -17 → -3*3 + 2*-4 = -17 → -9 - 8 ≡ -17
-3c = 12 = -3*-4 ≡ 12

Portanto, temos:
a + b + c = 1 + 3 - 4
a + b + c = 0

Alternativa (a)

Um abraço.