Cresc./ Decrescimento

Oi

Preciso analisar ps intervalos de decrescimento de df/dx= 5x^4 + 1 (pois preciso provar que uma equação de grau 5 tem somente uma raiz real).

Mas, apesar de saber que 5.x^4 + 1 não cruza o eixo x nenhuma vez (não tem raizes reais), não sei bem o comportamento dessa função. As duas únicas curvas que eu sei analisar são retas e parábolas. Como eu faria, nesse caso? Pensei em deixá-la como produto de duas de grau dois e analisar os sinais da multiplicação. Mas essas raizes complexas estão me atrapalhando.

Gi

Se df/dx = 5.x^4 + 1 -----> f(x) = x^5 + x

Desenhe a função f(x) ----> Bastam 5 pontos: A(1, 2), B(2, 32), O(0, 0), C(-1, -2), D(-2, -32)

Facilmente se vê que a função não nem mínimos nem máximos.
Isto confirma que df/dx não tem raízes (5x^4 + 1 é sempre positivo)

A função f(x) não tem decrescimento: ela é sempre crescente:

Para x < 0 a função tem valores crescentes negativos e para x > 0 tem valores crescentes positivos (isto pode ser visto pelas tangentes ao longo da curva)

Elcio, nem em sonho eu posso chutar valores e esboçar (mesmo que informalmente) o gráfico dessa função.

Vendo o esboço dessa função: http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot+f%28x%29+%3D+5x%5E4+%2B+1+&x=0&y=0

Não me ficou muito clara a sua ideia. Como assim a função não tem um mínimo?

Não seria melhpr fatorar em dois polinômios de grau dois e usar o varal de sinais? Seriam duas funções de parábolas sempre positivas (não há, de qualquer forma, raizes reais), e então o sinal da função seria sempre positivo.

Isso continua sendo uma pergunta. Estou aceitando sugestões de como resolver a questão

Gi

O gráfico que você postou é o gráfico de df/dx = 5x^4 + 1. Por ele fica clarro que a derivada NUNCA é nula.

Para a função f(x) = x^5 + x ter máximos ou mínimos seria necessário que df/dt fosse nula, logo a função NÃO tem máximos ou mínimos.

O gráfico a que eu me referi, na minha mensagem NÃO é o seu gráfico: é o gráfico da função f(x) = x^5 + x. Para isto eu propus usar os 5 pontos.

Se você desenhá-lo, na mão mesmo, pois é fácil, ou Wolfram, verá que a função tem domínio ] - ∞, + ∞[, passa por O(0, 0), não tem máximos ou mínimos e é sempre crescente

Ah, entendi a sua referência. Pensei que você estava falando da derivada ainda.

Desculpe não colocar antes, a função original é f(x) = x^5 + x + 1 (bom, quase não faz diferença)
http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot+f%28x%29++%3D+x%5E5+%2B+x+%2B+1&x=0&y=0

Falei do gráfico da derivada pois eu preciso provar, que a f só tem uma raiz real. Achei o intervalo na qual ela se encontra (pelo Teorema do Anulamento). Eu precisaria analisar o cresc./decresc da sua derivadas e provar que a f só cruza esse gráfico uma vez.

De fato, como você disse, essa função é E.C (preciso provar ainda, sem chutar valores. Entendi sua ideia dos valores, mas não posso fazer isso).

Quero provar que ela é E.C da seguinte maneira: Sabendo que a f é derivável e contínua em todo seu domínio (em especial para um intevalo I), como f'(x) > 0,
lim_{x->-inf} f(x) = -inf e lim_{x->+inf} f(x) = + inf, a f(x) só tem uma raiz.

O que não consegui provar é f'(x) > 0, qualquer x pertencente aos reais.
Eu sei que é obvio que 5x^4 + 1 NUNCA é negativo. Mas eu preciso provar, analisando o crescimento. Por isso falei da fatoração.

É basicamente isso, acho que ficou claro agora, né?

Sim, ficou claro
Infelizmente eu não sei como provar, do modo cono você precisa

Bom, minha professora é bem rigorosa (felizmente). Se eu colocasse um valor qualquer, ela perguntaria por que vale para todos os reais (bem diferente do jeito que aprendemos no ensino médio). Então, não vejo outra saída sem ser essa.

Minha solução seria fatorar assim http://m.wolframalpha.com/input/?i=+5%28x%5E2+%2B+i%5Csqrt%7B1%2F5%7D%29%28x%5E2+-i%5Csqrt%7B1%2F5%7D%29+simplify&x=0&y=0

E analisar os sinais das duas funções separadamente. Ou, saber apenas o comportamento da derivada a parte. Mas ai não consegui provar que ela não cruza nenhuma vez o eixo x

Agradeço pela ajuda. Se tiver alguma ideia, me avise

Um modo de provar que o gráfico da derivada não cruza o eixo x

5x^4 + 1 = 0 ----> 5x^4 + 0x^2 + 1 = 0 -----> Equação biquadrada ou equação do 2º grau na variável x²

x² = (0 ±\/(0² - 4.5,1)/2.5 ----> x² = ±\/(-20)/10 ----> x² = ± i.2\/5/10 ----> x² = ± i.\/5/5

Não existe valor real de x que satisfaça

Ou então diretamente ---> 5x^4 + 1 = 0 ----> 5x^4 = - 1 ----> x^4 = -1/5 ----> x^4 = i/\/5

Obrigada, Elcio