(ENE - 1953) Geometria Analítica

(ENE-53) Determinar o comprimento do menor segmento de reta que passa pelo ponto de coordenadas não nulas (a, b) e cujas extremidades estão sobre os eixos coordenados, supostos retangulares.

obs.: não disponho do gabarito.

José Carlos

Acho que dá para resolver com derivadas e é bem trabalhoso;

Sejam A(0, y) e B(x, 0) os pontos onde o segmento que passa por P(a, b) encontra os eixos coordenados Y e X respectivamente

Seja Q o pé da perpendicular de P sobre o eixo X:

OA/QP = OB/QB ----> y/b = x/(x - a) ----> y = bx/(x - a)

O comprimento C do segmento AB é dado por ----> C² = x² + y²

C² = x² + [bx/(x - a)]² ----> C² = x² + b²x²/(x² - 2ax + a²)

C² = [x^4 - 2ax³ + (a² + b²)*x²]/(x - a)²

C = [x^4 - 2ax³ + (a² + b²)*x²]^(1/2)/(x - a)

Basta agora derivar e igualar a zero para calcular o valor de x que minimiza C

C' = (x - a)*(1/2)*[x^4 - 2ax³ + (a² + b²)x²]*[4x³ - 6ax² + 2*(a² + b²)*x] -

[x^4 - 2ax³ + (a² + b²)x²]*(1)

C' = (x - a)*[2x³ - 3ax² + (a² + b²)*x]/[x^4 - 2ax³ + (a² + b²)*x²]^(1/2) -

[x^4 - 2ax³ + (a² + b²)*x²] ----> Igualando a zero

(x - a)*[2x³ - 3ax² + (a² + b²)*x] = [x^4 - 2ax³ + (a² + b²)*x²]^(3/2)

Elevando ao quadrado desaparece o expoente fracionário dando uma equação do 12º grau

você viu o trabalho que dá, a partir de agora ?

Nem me arrisco a tentar!!!

Olá Elcio,

Agradeço por sua solução e concordo com você quanto ao trabalho para se chegar ao resultado final. Se eu tivesse noção da trabalheira necessária nem teria postado esta questão.

Um grande abraço.