(CN)triângulo retângulo ABC

por thiagomurisini Sex 22 Jan 2010, 07:42

Em um triângulo retângulo ABC, o cateto AC e a hipotenusa BC medem, respectivamente, 10 e 40. Sabe-se que os segmentos CX, CY e CZ dividem o ângulo ACB em quatro ângulos de medidas iguais e que AX, XY, YZ e ZB são segmentos consecutivos contidos internamente no segmento AB. Se S1, S2, S3 e S4 são, respectivamente, as áreas dos triângulos CAX, CXY, CYZ e CZB, qual será o valor da razão (S1S3/S2S4) ?

A) 0,25
B) 0,50
C) 0,75
D) 1
E) 1,25

por **Elcioschin** Sex 22 Jan 2010, 10:08

Seja ^ACB = 4x -----> ^ACX = ^XCY = ^YCZ = ^ZCB

AB² = BC² - AC² ----> AB² = 40² - 10² ----> AB = 10*V15

tgACB = tg4x = AB/AC -----> tg4x = V15

tgACX = AX/AC ----> AX = 10*tgx ----> S1 = AC*AX/2 ----> S1 = 50*tgx

tgACY = AY/AC ----> AY = 10*tg2x ----> S(ACY) = AY*AC/2 = 50*tg2x ---->

S2 = S(ACY) - S1 ----> S2 = 50*(tg2x - tgx)

De modo equivalenye prova-se que:

S(ACZ) = 50*tg3x

S3 = S(ACZ) - S(ACY) ----> S3 = 50*(tg3x - tg2x)

S(ACB) = 50*tg4x

S4 = S(ACB) - SACZ) ----> S4 = 50*(tg4x - tg3x)

S1*S3 = (50*tgx)*[50*(tg2x - tgx)]

S2*S4 = [50*(tg3x - tg2x)]*[50*(tg4x - tg3x)]

Lembre-se que tg2x = 2*tgx/(1 - tg²x)

Deixo as contas para você se divertir

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