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Circunferência e reta

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Mensagem por LBello Sáb 20 Abr 2013, 11:34

As equações x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0 e y - x + 1 = 0 representam, no plano cartesiano, xOy a circunferência C e a reta r, respectivamente. Nesse caso, assinale a alternativa correta.
a) A circunferência c e a reta r têm exatamente um ponto A em comum, e a reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto A é igual reta y = -x;
b) Existe um ponto A da circunferência C, tal que r é tangente à circunferência C em A.
c) A circunferência C e a reta r não têm pontos em comum.
d) A retas y = 0 e x = 0 não são tangentes a circunferência C.
e) A circunferência C e a reta r têm exatamente dois pontos A e B em comum e a reta que passa pelo centro da circunferência e é perpendicular a reta determinada pelos pontos A e B é a reta de equação y = -x;

Obs.: o gabarito é a letra e. Gostaria dos cálculos e explicações.

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Mensagem por Rafael113 Sáb 20 Abr 2013, 13:57

C: x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0
x² -2x +1 + y²+2y+1 = 0+1
(x-1)²+(y+1)²=1 -> centro O(1,-1) e raio r=1;

y-x+1=0 -> y = x-1

Conferindo as alternativas:

(A) Ponto em comum: substitui-se y=x-1 na eq. de C:

(x-1)²+(x-1+1)²=1
(x-1)²+x²=1
x²-2x+1+x²=1
2x²-2x=0
2x(x-1)=0
x= 0 ou x=1
y = -1 ou y=0
Logo há 2 pontos em comum, e não exatamente 1.

(B) Se r é tangente à C em A, a distância da reta r ao centro deve ser igual ao raio, e A é um dos pontos encontrados na opção A:

d(r,O) = |-1*1+1*-1+1| / sqrt(1+1) = sqrt2/2 =/= r -> F
Outra maneira de pensar é que, como a reta tem 2 pontos em comum com C, ela só pode ser secante a ela.

(C) Falsa, como mostrado no item A.

(D) Basta fazer a distância entre as retas e o centro O:

y=0 -> d = |0*1+1*-1+0|/sqrt(1+0) = 1/1=1 = r
x=0 -> d= |0+1+0|/sqrt1 = 1 = r

Como d=r, as retas são tangentes à C.

(E) Reta que passa por A(0,-1) e B(1,0):

y-0=m(x-1)
Mas m = (-1-0)/(0-1) = 1
y = x-1

A reta perpendicular a ela tem coeficiente angular m = -(1/1) = -1.

y-y0=m(x-x0) -> y+1 = -1(x-1)
y+1=-x+1
y=-x.

Logo, a alternativa E está correta.

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Mensagem por LBello Sáb 20 Abr 2013, 20:23

Obrigado.

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