Determine os valores de a e b

por zanker Qui 18 Abr 2013, 15:28

Determine os valores de a e b para que os planos alfa: ax+by+4z-1 = 0 e beta: 3x -5y-2z +5 = 0 sejam:

a) paralelos: já fiz dará a= -6 e b= 10.
b)perpendicular neste caso mostre sua interseção

obs: no b para quem responder além de mostrar a interseção pode explicar porque há infinitas possibilidades ?

por **aryleudo** Qui 18 Abr 2013, 18:15

zanker escreveu:Determine os valores de a e b para que os planos alfa: ax+by+4z-1 = 0 e beta: 3x -5y-2z +5 = 0 sejam:

a) paralelos: já fiz dará a= -6 e b= 10.

Os vetores ortogonais aos planos alfa e beta são paralelos, u = (a, b, 4) é paralelo a v = (3, -5, -2). Desse modo:
a/3 = b/(-5) = 4/(-2) --> a/3 = b/(-5) = -2

Encontrando a:
a/3 = -2 --> a = -6

Econtrando b:
b/(-5) = -2 --> b = 10

b)perpendicular neste caso mostre sua interseção
obs: no b para quem responder além de mostrar a interseção pode explicar porque há infinitas possibilidades ?

O produto interno dos vetores ortogonais aos planos alfa e beta é nulo = 0. Desse modo:
<(a, b, 4), (3, -5, -2)> = 0 --> 3a - 5b - 8 = 0

Como temos infinitos valores para "a" e "b" que satisfazem a equação, então temos infinitos planos perpendiculares.

por zanker Sex 19 Abr 2013, 14:49

aryleudo escreveu:
zanker escreveu:Determine os valores de a e b para que os planos alfa: ax+by+4z-1 = 0 e beta: 3x -5y-2z +5 = 0 sejam:

a) paralelos: já fiz dará a= -6 e b= 10.
Os vetores ortogonais aos planos alfa e beta são paralelos, u = (a, b, c) é paralelo a v = (3, -5, -2). Desse modo:
a/3 = b/(-5) = 4/(-2) --> a/3 = b/(-5) = -2

Encontrando a:
a/3 = -2 --> a = -6

Econtrando b:
b/(-5) = -2 --> b = 10

b)perpendicular neste caso mostre sua interseção
obs: no b para quem responder além de mostrar a interseção pode explicar porque há infinitas possibilidades ?
O produto interno dos vetores ortogonais aos planos alfa e beta é nulo = 0. Desse modo:
<(a, b, c), (3, -5, -2)> = 0 --> 3a - 5b - 2c = 0

Como temos infinitos valores para "a", "b" e "c" que satisfazem a equação, então temos infinitos planos perpendiculares.

Obrigado plea resposta, mas na questão b o produto interno não seria (a,b,4) (3,-5,-2) --> 3a-5b= 8 ?

E se fornecer um valor para ''a'' e outro para 'b' como ficaria a equação da interseção a reta ?

por **aryleudo** Sex 19 Abr 2013, 17:57

Tem razão zanker.

Por isso editei a postagem anterior.

por zanker Sex 19 Abr 2013, 23:25

e a equação da interseção da reta ? ( atribuindo valores ao valor ''a'' e ''b'') ?

por **aryleudo** Sáb 20 Abr 2013, 19:16

Para um caso particular, onde b = 0. Temos: a = 8/3. -----------{Concorda?}
Desse modo, u = (a, b, 4) = (8/3, 0, 4). ------------------------ {Correto?}
Recorde que u 丄 v. --------------------------------------------- {Confere?}
Observe que o produto vetorial de u com v (u x v) resulta em um vetor paralelo a reta solicitada.

Lembrete:
u = (8/3, 0, 4)
v = (3, -5, -2)

u x v = w = (20, 52/3, -40/3) ---------------------------------- {Verifique!}
Considere que o ponto 0 (0, 0, 0) pertence a reta, P (x, y, z) seja um ponto genérico que percorre toda a reta e t seja um parâmetro. Assim a reta pode ser representada vetorialmente do seguinte modo:
$\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{w}\Rightarrow (x,y,z)-(0,0,0)=t(8/3,0,4)\Rightarrow \boxed{(x,y,z)=(8t/3,0,4t)}$

Legenda:
u 丄 v: os vetores "u" e "v" são perpendiculares.