Função

por **Jader** Sáb 13 Abr 2013, 01:25

Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços de modo a formarem um quadrado e uma circunferência. De que modo deve ser cortado para que a soma das áreas destas figuras sejam mínimas?

por **Leonardo Sueiro** Sáb 13 Abr 2013, 11:34

Comprimento do quadrado = x
Comprimento da circunferência = 10 - x

área do quadrado = (x/4)²

(10 - x) = 2pi*r
r = (10 - x)/2pi

área da circunferência = pi*[(10 - x)/2pi]²

Soma = S(x) = (x/4)² + pi*[(10 - x)/2pi]²
= x²/16 + pi[(100 - 2x + x²)/4pi²)
= x²/16 + (100 - 2x + x²)/4pi
= x²/16 + 25/pi - x/2pi + x²/4pi

S'(x) = 2x/16 - 1/2pi + x/2pi

Mínimo -> S'(x) = 0

x/8 + x/2pi - 1/2pi = 0
pi*x + 4x - 4 = 0
x(pi + 4) = 4
x = 4/(pi + 4)

Comprimento do quadrado = 4/(pi + 4) cm
Comprimento da circunferência = 10 - 4/(pi + 4) cm