(UFF) Cubo e hexágono

por VITOR BORGES Sex 05 Abr 2013, 17:24

Unindo-se os pontos médios das arestas de um cubo de aresta l, obtém-se um hexágono regular, PQRSTU, conforme a figura abaixo.

(UFF) Cubo e hexágono Hhhhhhv

Determine a distância do vértice V ao plano do hexágono.

Resposta: (l√3)/2

por **Jose Carlos** Qui 11 Abr 2013, 15:06

- Seja O o centro do hexágono

RS = ST = TU = UP = PQ

RS² = (L/2)² + (L/2)² -> RS = (L*\/2)/2

OP = OQ = OR = OS = OT = OU = (L*\/2)/2

OT = ( L\/2 )/2

VT² = L² + (L/2)² -> VT = ( L\/5)/2

VT² = VO² + OT²

VO² = VT² - OT² -> VO² = ( L*\/5/2 )² - ( L*\/2/2 )²

VO² = 3*L²/4 -> VO = (L*\/3)/2

por victorgrechi Qui 24 Set 2015, 10:11

Não entendi o raciocínio, mas valeu ^^

por **Jose Carlos** Qui 24 Set 2015, 19:15

Olá,

Não percebeu o desenho? A parte dos cálculos ?

por **Medeiros** Sex 25 Set 2015, 04:28

JUSTIFICATIVA:

diagonal do cubo = VT = √(L²+L²+L²) = L√3

Se o plano do hexágono é formado pelos pontos médios das arestas do cubo, então o plano corta a diagonal VT ao meio, no ponto W, pois tanto V quanto T estão a mesma distância de qualquer dos vértices do hexágono (vide simetria da figura).

por Convidado Seg 09 Out 2017, 15:02

Jose Carlos escreveu:- Seja O o centro do hexágono

RS = ST = TU = UP = PQ

RS² = (L/2)² + (L/2)² -> RS = (L*\/2)/2

OP = OQ = OR = OS = OT = OU = (L*\/2)/2

OT = ( L\/2 )/2

VT² = L² + (L/2)² -> VT = ( L\/5)/2

VT² = VO² + OT²

VO² = VT² - OT² -> VO² = ( L*\/5/2 )² - ( L*\/2/2 )²

VO² = 3*L²/4 -> VO = (L*\/3)/2

Como você sabe se o ângulo VÔT é de 90º?

por **Elcioschin** Seg 09 Out 2017, 17:16

Não existe mais desenho, então vou dar indicações:

O hexágono, que passa pelo centro O do cubo, divide o cubo em duas partes iguais.

Seja A o vértice do cubo entre T e U, X o vértice entre R e Q, D o vértice oposto a V

Duas diagonais de um cubo são sempre perpendiculares entre si. Assim, as diagonais AOX e VOD são perpendiculares entre si.

A reta que contém diagonal AOX está contida no hexágono. Logo o segmento de reta VO (parte de VOD) é perpendicular ao hexágono: VÔP = 90º

por Convidado Seg 09 Out 2017, 17:47

Aí está o desenho Élcio.

por **Elcioschin** Seg 09 Out 2017, 18:17

Já atualizei minhas explicações com base no seu desenho (em vermelho).

Para entender minhas explicações faltou postar:

1) os vértices A (entre T e U), X (entre R e Q) e D (oposto a V)
2) as diagonais AOX e VÔD (O é o centro do cubo e do hexágono)
3) os lados VP, VO e OP do triângulo retângulo POV:

VP² = OP² = OV²

O que eu fiz para este triângulo valeria também para o VOT

por **Elcioschin** Seg 09 Out 2017, 18:18

Já atualizei minhas explicações com base no seu desenho (em vermelho).

Para entender minhas explicações faltou postar:

1) os vértices A (entre T e U), X (entre R e Q) e D (oposto a V)
2) as diagonais AOX e VÔD (O é o centro do cubo e do hexágono)
3) os lados VP, VO e OP do triângulo retângulo POV:

VP² = OP² + OV²

O que eu fiz para este triângulo valeria também para o TOV