Logaritmo

por iaguete Qui 04 Abr 2013, 00:54

log[49]7x=log[x]7

gabarito: 7 ; 1/49

x^log[3]x = 81 (é x elevado a log de x na base 3 , isso é igual a 81, o todo e nao só a parte do log.)
gabarito: 9 e 1/9

o que está entre colchetes é a base

por danjr5 Qui 04 Abr 2013, 01:44

$\\ \log_{49} 7x = \log_x 7 \\\\ \frac{\log_{10} 7x}{\log_{10} 49} = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} x} \\\\\\ \frac{\log 7x}{\log 49} = \frac{\log 7}{\log x} \\\\ \log (7 \cdot x) \times \log x = \log (7 \cdot 7) \times \log 7 \\\\ \log x(\log 7 + \log x) = \log 7 (\log 7 + \log 7) \\\\ \log^2 x + \log 7 \times \log x - 2 \times \log^2 7 = 0$

Considere: $\begin{cases} \log 7 = a \\ \log x = b \end{cases}$

Substituindo...

$\\ b^2 + ab - 2a^2 = 0 \\ b^2 + ab - a^2 - a^2 = 0 \\ b^2 - a^2 + ab - a^2 = 0 \\ (b + a)(b - a) + a(b - a) = 0 \\ (b - a)\left [ (b + a) + a \right ] = 0 \\ (b - a)(b + 2a) = 0$

Temos então: $\boxed{a = b}$ e $\boxed{b = - 2a}$

Por conseguinte,

- quando $\boxed{a = b}$ :

$\\ \log x = \log 7 \\ \boxed{\boxed{\boxed{x = 7}}}$

- quando $\boxed{b = - 2a}$ :

$\\ \log x = - 2 \times \log 7 \\\\ \log x = \log 7^{- 2} \\\\ \log x = \log \frac{1}{49} \\ \boxed{\boxed{\boxed{x = \frac{1}{49}}}}$

por **Adam Zunoeta** Qui 04 Abr 2013, 01:46

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por danjr5 Dom 07 Abr 2013, 15:58

b)

$\\ x^{\log_3 x} = 81 \\\\ \log_x 81 = \log_3 x \\\\ \frac{\log 3^4}{\log x} = \frac{\log x}{\log 3} \rightarrow \begin{cases} \log 3 = a \\ \log x = b \end{cases} \\\\\\ \frac{4a}{b} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow b^2 = 4a^2 \\\\ \boxed{b = \pm 2a}$

Quando $\boxed{b = 2a}$ :

$\\ \log x = 2 \cdot \log 3 \\\\ \log x = \log 3^2 \\\\ \log x = \log 9 \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{x = 9}}}$

Quando $\boxed{b = - 2a}$ :

$\\ \log x = - 2 \cdot \log 3 \\\\ \log x = \log 3^{- 2} \\\\ \log x = \log \frac{1}{9} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{x = \frac{1}{9}}}}$

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