Equação Algébrica - Determinar o Menor Grau

Determine o menor grau possível de uma equação algébrica com coeficientes reais que admite (2–i) como raiz dupla e i como raiz simples.

Podemos usar o 'Teorema das Raízes Complexas', que diz que se um polinômio admite uma raiz complexa da forma 'a + b.i', com b ≠ 0 => o complexo conjugado dessa raiz também é raiz do dito polinômio.

Assim, como o polinômio da questão admite duas raízes (2 - i) então ele também admite duas raízes (2 + i).
Do mesmo modo, como o polinômio admite uma raiz 'i', então, também admitirá uma raiz '-i'.

Logo, o polinômio terá duas raízes (2 - i), duas raízes (2 + i), uma raiz 'i' e uma raiz '-i', totalizando, assim:
2 + 2 + 1 + 1 = 6 raízes, no mínimo.

Como esse polinômio admite no mínimo seis raízes, tem-se, pelo'Teorema Fundamental da Álgebra', que ele é, no mínimo, de 6º grau.

Hola João.

No enunciado é dito que essa equação tem coeficientes reais. Certo? Sendo assim, além das raízes complexas ela admite alguma raiz real. Certo?

Nesse caso como o grau deve ser o menor possível, então ela terá: 6 + 1 = 7 raízes.

Boa tarde, Paulo.

Tente encontrar as raízes do polinômio a seguir (que é um polinômio de 6º grau com todos os coeficientes reais):

Olá Paulo, uma equação de coeficientes reais nao necessariamente possui raíz real, como por exemplo qualquer equação de segundo grau de delta negativo: x² +4x +6 ; quando possui coeficientes reais vale o teorema das raízes complexas ( se a+bi é raiz a-bi também é) se os coeficientes nao fossem reais nao valeria esse teorema, assim como o teoremas das raízes irracionais conjugadas so vale quando os coeficientes forem racionais.

Hola João e Luck.

Peço-lhes escusas pela minha colocação.