Menor grau de uma equação

por Maluco Beleza Qui 22 Mar 2012, 18:18

O menor grau possível de uma equação algébrica com coeficientes reais que admitem 4 como raiz dupla, -6 como raiz tripla e 2+i como rais simples é?

Spoiler:

por **Agente Esteves** Qui 22 Mar 2012, 19:13

Se a equação tem coeficientes reais, isso significa que, caso ela admita alguma raiz complexa, então ela também admite a conjugada dessa raiz com a mesma multiplicidade.

Por exemplo, nessa equação, nós temos 2 + i como raiz simples. Dessa maneira, 2 - i também é raiz e também é uma raiz simples.

Então nós temos uma raiz dupla, uma tripla e duas simples, somando dá 2 + 3 + 2 = 7 raízes. E a menor equação algébrica que possui sete raízes é uma equação de grau 7.

Espero ter ajudado. ^_^

por Maluco Beleza Qui 22 Mar 2012, 19:41

Oi Agente Esteves.

Ajudou e muito, sua explicação está perfeita, compreendi perfeitamente.

Obrigado querida.

por **hygorvv** Qui 22 Mar 2012, 19:48

Eu discordo do gabarito.

Nós temos na verdade, pelo menos 7 raízes, logo o menor grau deveria ser 7, na minha opinião.

por **Agente Esteves** Qui 22 Mar 2012, 19:56

Eu pensei nisso, Hygor, mas depois eu vi que, por exemplo, nós temos equações do segundo grau com raízes duplas e equações do terceiro grau com raízes triplas, mas não deixam de ser desse grau por serem assim...

Mas eu acho que essas raízes contam com uma só, somente mudando a multiplicidade, eu acredito. Vou pesquisar na Internet.

por **hygorvv** Qui 22 Mar 2012, 20:00

Pela minha interpretação, ele quer todas as raízes com as condições de multiplicidade apresentada. Por isso não concordo

A equação seri do tipo:
a(x-4)²(x+6)³(x-(2+i))(x-(2-i))=0

Que se desenvolvermos, dará uma equação de grau 7.

Enfim, vamos aguardar também opiniões dos outros usuários.
Qualquer coisa, postamos aqui também Very Happy

por **Agente Esteves** Qui 22 Mar 2012, 20:09

De fato, com você apresentando aí a fatoração, eu realmente penso que possa dar grau 7 o polinômio também...

Mas vou esperar o Luck vir, ele sempre responde minhas dúvidas... XD

por **Elcioschin** Qui 22 Mar 2012, 20:20

Gabarito errado: a solução correta é 7

por Maluco Beleza Qui 22 Mar 2012, 20:21

Olá amigos também me passou essa dúvida.

O maior grau possível para o polinômio é 7, pois a quantidade de raízes de um polinômio é igual ao seu grau.
O menor valor possível é 4, pois há duas raízes diferentes e além disso nos dois casos as raízes complexas sempre aparecem em pares.

Hummmm!?!? :scratch: