Função do 2° grau - o menor valor numa expressão

por Thvilaça Sex 25 maio 2012, 21:37

Considere x,y $\in \Re$ tais que 3x - y = 20. O menor valor de $\sqrt{x^2 + y^2}$ é:

a) $2\sqrt{5}$

b) $2\sqrt{10}$

c) $2\sqrt{15}$

d) $4\sqrt{5}$

e) $4\sqrt{10}$

* Bom, aqui está o que eu tentei fazer, mas obviamente não fechou com o resultado:

3x - y = 20
y = 3x - 20;

Substituindo na raiz:
$\sqrt{x^2+y^2}$

$\sqrt{x^2+(3x-20)^2}$

$\sqrt{10x^2-120x+400}$

O valor sob a raiz sera o menor possível no vértice da parábola descrita pela função $10x^2-120x+400$ , já que o coeficiente de $x^2$ é positivo (ou seja, concavidade pra cima, e valor mínimo).

yv = $\frac{-\Delta}{4a}$

yv = $\frac{-b^2+4ac}{4a}$

yv = $-\frac{144-160}{4}$

yv = 4;

Raiz de 4 é 2. Não fecha com nenhuma das alternativas. Alguém pode me indicar o caminho certo? Qual seria o menor valor assumido pelo expressão na raiz?

por **Elcioschin** Sex 25 maio 2012, 22:03

Está certo até:

f(x) = \/(10x² - 120x + 400)

Valor mínimo de 10x² - 120x + 400 ----> (-b² + 4ac)/4a = [- (-120)² + 4*10*400]/4*10 =

= [-14400 + 16000]4*10 = 40

f(x)mín = \/[40] ----> f(x)mín = 2*\/10

por **ivomilton** Sex 25 maio 2012, 22:25

Thvilaça escreveu:Considere x,y [url=http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\in \Re] $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$ [/url] tais que 3x - y = 20. O menor valor de [url=http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\sqrt{x^2 @plus; y^2}] $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$ [/url] é:

a) $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

b) $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

c) $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

d) $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

e) $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

* Bom, aqui está o que eu tentei fazer, mas obviamente não fechou com o resultado:

3x - y = 20
y = 3x - 20;

Substituindo na raiz:
$Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

$Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

$Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

O valor sob a raiz sera o menor possível no vértice da parábola descrita pela função $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$ , já que o coeficiente de $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$ é positivo (ou seja, concavidade pra cima, e valor mínimo).

yv = $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

yv = $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

yv = $Função do 2° grau - o menor valor numa expressão Gif$

yv = 4;

Raiz de 4 é 2. Não fecha com nenhuma das alternativas. Alguém pode me indicar o caminho certo? Qual seria o menor valor assumido pelo expressão na raiz?

Boa noite,

Yv = -∆/4a = -(b²-4ac)/4a = -[(-120)² - 4*10*400]/4*10 = -(14.400 - 16.000)/40 = 1.600/40 = 40

Mas creio que, como o trinômio está dentro de um radical, teremos que considerar como sendo √40 = 2√10

Alternativa (b)

Um abraço.

por Thvilaça Sex 25 maio 2012, 22:41

Ops, é verdade...

Que erro banal !!!!

Não, é que eu simplifiquei a expressão dividindo-a por 10, tipo y = x² -12x+40. Daí calculei yv.

Não sei poque fiz isso ... Pura distração ... Smile