Funções

por Jônatas Arthur De F. L. Ter 05 Mar 2013, 19:58

A função f: N --> N satisfaz as seguintes condições:
a) f(1) = 1
b) f(n+1) = f(n) + 3n + 1
Determine f(n) para todo n E N

Spoiler:

por Luck Ter 05 Mar 2013, 22:37

f(2) - f(1) = 4 --> f(2) = 5
f(3) - f(2) = 7 --> f(3) = 7+5 = 12
f(4) -f(3) = 10 --> f(4) = 10+12=22
f(5) -f(4) = 13 --> f(5) = 13 +22 = 35
f(6) - f(5) = 16 --> f(6) = 16+35 = 51
sequência : (1,5,12,22,35,51 , ...} que é uma PA de segunda ordem (mas nao precisava saber disto pra resolver a questão)
f(n+1) - f(n) = 3n+1
Somando tudo , obtemos:
f(n+1) -f(1) = [4 + (3n+1)](n/2)
f(n+1) -1 = (5n + 3n²)/2

f(n) = f(n+1) - 3n - 1
f(n) = (5n + 3n²)/2 - 3n
f(n) = (3n² - n) /2

por Jônatas Arthur De F. L. Ter 05 Mar 2013, 23:56

A partir de somando tudo eu não entendi, mesmo sabendo que você pôs a fórmula do somatório da PA... Poderia explicar mais detalhadamente?

por Jônatas Arthur De F. L. Qua 06 Mar 2013, 12:27

Eu não entendi o finalzinho, mas entendi seu raciocínio e consegui fazê-la. Obrigado.

por Luck Qua 06 Mar 2013, 15:06

Jônatas Arthur De F. L. escreveu:A partir de somando tudo eu não entendi, mesmo sabendo que você pôs a fórmula do somatório da PA... Poderia explicar mais detalhadamente?

é uma soma telescópica:
f(2) - f(1) = 4
f(3) - f(2) = 7
f(4) -f(3) = 10
f(5) -f(4) = 13
f(6) - f(5) = 16
f(n+1) - f(n) = 3n+1
Ao somar tudo vai cortar todos os termos sobrando apenas o último e o primeiro, e a soma de uma PA:
f(n+1) - f(1) = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ... + (3n+1)
(...)

Podia fazer também usando o conceito de PA de segunda ordem:
(1,5,12,22,35,51 , ...,an}
o termo geral da pa de 2º ordem é : a(n) = An² + Bn + C
1 = A + B + C
5 = 4A + 2B + C
12 = 9A + 3B + C
resolvendo esse sitema vai achar : A = 3/2 , B = -1/2 , C = 0
entao , a(n) = (3/2)n² -(1/2)n
f(n) = (3n² - n) /2