Problema de optimização

por Luis Silva Dom 03 Mar 2013, 13:16

Olá, mais um a vez tenho o seguinte problema para resolver:

Pretende-se construir um tanque com o volume de 500 m³ ,a partir de uma folha de um determinado material com uma espessura pré-definida.O tanque deve ter a forma de um paralelepípedo sem tampa e com a base quadrada.Quais as dimensões da base(largura da base =L) e da altura (altura=H) do tanque de modo que pese o menos possível?

SOLUÇÃO =10m e H=5m

Como se faz? Very Happy

por **aryleudo** Dom 03 Mar 2013, 15:12

Luis Silva escreveu:Olá, mais um a vez tenho o seguinte problema para resolver:

Pretende-se construir um tanque com o volume de 500 m³ ,a partir de uma folha de um determinado material com uma espessura pré-definida.O tanque deve ter a forma de um paralelepípedo sem tampa e com a base quadrada.Quais as dimensões da base(largura da base =L) e da altura (altura=H) do tanque de modo que pese o menos possível?

SOLUÇÃO =10m e H=5m

Como se faz?

Encontrando L em função de H:
$V=L^2H = 500\Rightarrow \boxed{L^2=\frac{500}{H}} \hspace{20} \text{OU} \hspace{20} \boxed{L=\frac{10\sqrt{5H}}{H}}$

A área total da caixa é:
$A_{TOT} = L^2+4LH$

A área total da caixa em função da altura:
$\\A_{TOT} = L^2+4LH = \frac{500}{H}+4\cdot \frac{10\sqrt{5H}}{H}\cdot H \\ A_{TOT} = \frac{500}{H}+40\sqrt{5H}$

O peso da caixa é diretamente proporcional a área total. Portanto, para o peso mínimo temos a área mínima. Assim:
$\\A'_{TOT} = 0 \\\\ -\frac{500}{H^2}+\frac{100}{\sqrt{5H}} = 0\\\\ H^4 - 125H = 0 \\ H(H^3 - 125) =0$

$\boxed{H'= 0} \hspace{20} \text{OU} \hspace{20} H^3=125\Rightarrow \boxed{H = 5 \hspace{15} \text{m}}$

Encontrando L:
$\\\text{Para} \hspace{5}H=5 \hspace{5} \text{m}:\\\\ L=\frac{10\sqrt{5H}}{H}\Rightarrow L=\frac{10\sqrt{5\cdot 5}}{5}\Rightarrow L=\frac{10\cdot5}{5}\Rightarrow \boxed{L =10\hspace{5} \text{m}}$