geometria plana

por Márcia Cristina T.da Silv Ter 26 Fev 2013, 17:47

Questão 1: Num triângulo ABC, as bissetrizes dos ângulos externos em B e C formam
um ângulo de 40º e a altura relativa ao lado BC forma com a bissetriz do ângulo A um ângulo de
25º. Calcule os ângulos do trângulo? Não consegui fazer me ajuda.

por NiltonGMJunior Ter 26 Fev 2013, 18:25

Seja AD a bissetriz do ângulo do vértice A e a AH a altura relativa ao lado BC:

geometria plana 21715085

Temos que:

b+c+40=180
b+c=40

a+180-2b+115=180
a-2b=-115

a-25+90+180-2c=180
a-2c=-65

Então vem o sistema:

$\begin{cases} & \text b+c=40 \\ & \text a-2b=-115 \\ & \text a-2c=-65 \end{cases}$

Somando as duas últimas:

$2a-2b-2c=-180\\\\ 2a-2(b+c)=-180$

Substituindo a primeira nessa:

$2a-2\cdot 140=-180\\\\ 2a=-180+280\\\\ 2a=100\\\\ a=50$

Substituindo a nas outras duas:

$\begin{cases} & \text 50-2b=-115 \\ & \text 50-2c=-65 \end{cases}\rightarrow \begin{cases} & \text 2b=165 \\ & \text 2c=115 \end{cases}\rightarrow \begin{cases} & \text b=\frac{165}{2} \\ & \text c=\frac{115}{2} \end{cases}$

Perceba que os ângulos que procuramos são os ângulos internos 2a, (180-2b) e (180-2c):

2a=2*50=100
180-2b=180-2*165/2=180-165=15
180-2c=180-2*115/2=180-115=65

Então a solução é:

15º,65º e 100º