Matemática olímpica

Eis um problema que uma pessoa que venho me correspondendo me enviou:

Encontre o menor múltiplo de 143 que começa com os algarismos 12345.

Em breve posto aqui minha resolução :gft:

Começa da direita pra esquerda ou da esquerda pra direita?

Se for como eu pensei, encontrei 10212345

Da esquerda para a direita: 12345...

Encontrei 1234519

Hum

Encontrei um número maior, veja só:

Observando os múltiplos de 143, temos que tais múltiplos, de forma genérica (7N)143 tendem a ter os algarismos de N repetidos em alguma ordem no resultado do produto anterior.

Em uma nova análise, temos:

(7.1)143=1001
(7.12)143=12012
(7.123)143=123123
(7.1234)143=1235234
(7.12345)143=12357345
(7.123456)143=123579456

Para N com 1 algarismos: 143(7 . A) = A00A
Para N com 2 algarismos: 143(7 . AB) = AB0AB
Para N com 3 algarismos: 143(7 . ABC) = ABCABC
Para N com 4 algarismos: 143(7 . ABCD) = ABC[D+1]BCD
Para N com 5 algarismos: 143(7 . ABCDE) = ABC[D+1][E+2]CDE
Para N com 6 algarismos: 143(7 . ABCDEF) = ABC[D+1][E+2][F+3]DEF

Voltando a questão:

Queremos um número de forma 12345...
Para N com 4 algarismos: 143(7 . ABCD) = ABC[D+1]BCD -> a partir da forma genérica já é possível perceber que N com 4 algarismos não gera o número procurado, pois o 5º algarismo é igual ao 2º.

Para N com 5 algarismos: 143(7 . ABCDE) = ABC[D+1][E+2]CDE -> esta forma genérica por gerar o número procurado, pois todos os 5 primeiros algarismos são diferentes.
Desse modo, A=1, B=2, C=3, D+1=4, E+2=5 -> 12333 -> 143(7.12333)= 12345333

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Como você fez?

Você encontrou o quarto menor xD

Fiz uma multiplicação inversa:

Primeiro, notei que o primeiro algarismo a se multiplicar 143 deve ser 1, 7, 8 ou 9. Então analisei o número 1.

obss: como é uma multiplicação inversa, leia na ordem dos números em verde. vou tentar explicar por imagem



Analisando o 7 e o 9 vamos achar problemas. Vamos para o 8:



Pra fazer isso, é só ir fazendo ao contrário, não esquecendo que se der maior do que 10 vai passar uma unidade pra esquerda.

Concluímos que o menor a multiplicar é 8633, sendo que:

143 * 8633 = 1234519

Spoiler:

Valeuzão Ramon, muito boa sua resolução. Abraço

Ramon e o pessoal aqui:
Esmiucei mais aquela "fórmula" que postei anteriormente aqui e fiz algumas coisas mais:

obs: estabeleci esses 5 itens apenas para aplicar a fórmula


a) Qual é a forma genérica de um número n múltiplo de 7, 11 e 13, e que possua no máximo 9 algarismos e seus x primeiros algarismos em progressão aritmética de razão 1 e a1=1 ?
b) Qual é o menor múltiplo de 143 que tem os 4 primeiros algarismos iguais a 1234 (o número é do tipo 1234...) ?
c) Qual é o menor múltiplo de 143 que tem os 5 primeiros números iguais a 12345 (o número é do tipo 12345...) ?
d) Qual é o menor múltiplo de 143 que tem os 6 primeiros algarismos iguais a 123456 ( o número é do tipo 123456...) ?
e) Qual é o menor múltiplo de 143 que tem uma forma genérica dada por 1234...4321?

Resolução:

a) Observando os múltiplos de 143, temos que tais múltiplos, de forma genérica (7N)143 tendem a ter os algarismos de N repetidos em alguma ordem no resultado do produto anterior.
Em uma nova análise, temos:
(7.1)143=1001
(7.12)143=12012
(7.123)143=123123
(7.1234)143=1235234
(7.12345)143=12357345
(7.123456)134=123579456

Para N com 1 algarismos: 143(7 . A) = A00A
Para N com 2 algarismos: 143(7 . AB) = AB0AB
Para N com 3 algarismos: 143(7 . ABC) = ABCABC
Para N com 4 algarismos: 143(7 . ABCD) = ABC[D+1]BCD
Para N com 5 algarismos: 143(7 . ABCDE) = ABC[D+1][E+2]CDE

Observando as formas genéricas estabelecidas acima, pode-se deduzir a fórmula do número n, para quando os x primeiros números encontram-se em progressão aritmética de razão 1:
143(7 . A[A+r][A+2r]...[A+(n-1)r][A+nr]) = A[A+r][A+2r][A+3r+1][A+4r+2)][A+5r+3]... [A+(n-2)r+(n-4)][A+(n-1)r+(n-3)][A+(n-3)r][A+(n-2)r][A+(n-1)r]

Testando para n=6, a1=1 e r=1:
143(7.123456)=123579456 ⇒ Coincide com a fórmula acima

Testando para n=7, a1=1 e r=1:
143(7.1234567)=1235801567 ⇒ Não coincide com a fórmula acima, já que por ela, esse produto deveria ser igual a 12357911567

Testando para n=5, a1=2 e r=2:
143(7.13579)=13592579 ⇒ Não coincide com a fórmula acima, já que por ela, esse produto deveria ser igual a 135811579

Com base nisso, é possível estabelecer algumas restrições à fórmula. Ela apenas é válida no caso de a1=1, r=1 e n≤6, com algumas exceções.

Finalmente, temos:

143(7 . A) = A00A
se, e somente se 1 < A < 9

143(7 . AB) = AB0AB
se, e somente se 10 < A < 99

143(7 . ABC) = ABCABC
se, e somente se 100 < A < 999

143(7 . ABCD) = ABC[D+1]BCD
se, e somente se A=1

143(7 . ABCD) = ABCABCD
se, e somente se ABCD=N.10³ (1 < N < 9)

143(7 . ABCDE) = ABC[D+1][E+1]CDE
se e somente se A=1

143(7. ABCDEF) = ABC[D+1][E+2][F+3]DEF
se e somente se A=1

*Além das condições citadas, em todos os casos, os números devem estar em PA de razão 1.


b) Podemos perceber que N com 3 algarismos não gera o número procurado, devido ao 4º algarismo ser igual ao primeiro. Contudo N com 4 algarismos pode gerar o número procurado devido aos 5 algarismos serem distintos: 143(7 . ABCD)=ABC[D+1]BCD ⇒ A=1, B=2, C=3, D+1=4 ⇒ n=143(7 . 1233)=1234233

Convém atentar-se ao fato de que este último apesar de atender a forma procurada, não é o menor múltiplo de 143 assim. Dessa forma, subtraindo 143 e dividindo o resultado por 10 (fato que não altera a divisibilidade do número por 143) obtemos o número n procurado: 123409

c) Podemos perceber que N com 4 algarismos não gera o número de forma 12345..., pois este último teria o 5º algarismo igual ao 2º. N com 5 algarismos pode gerar o número procurado, pois todos o 5 primeiros algarismos são distintos. Dessa forma, devemos ter A=1, B=2, C=3, D+1=4, E+2=5, portanto:
143(7.12333)=12345333

Subtraindo 143 e dividindo o resultado por 10 (fato que não altera a divisibilidade do número por 143) obtemos o número n procurado: 1234519

d) 143(7. ABCDEF) = ABC[D+1][E+2][F+3]DEF ⇒ A=1, B=2, C=3, D+1=4 E+2=5, F+3=6 ⇒n=143(7.123333)=123456333
Lembrando que este número não é necessariamente o menor múltiplo de 143 que começa com 123456, subtraindo 143 e dividindo o produto por 10, obtemos o número procurado: 12345619

e) De início, n tem 5 ou mais algarismos. Além disso, se n=143(7.N), então N tem 5 ou mais algarismos.

Por casos:

n=143(7 . ABCDE) = ABC[D+1][E+1]CDE ⇒ A=1, B=2, C=3; E+1=4, C=3, D=2, E=1 ⇒ E=3 e E=4: número inexistente

143(7. ABCDEF) = ABC[D+1][E+2][F+3]DEF ⇒ A=1, B=2, C=3, D+1=3 ; F+3=4, D=3, E=2, F=1 ⇒ N=123321 ⇒ n=143(7. 123321)=123444321