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De um limite nasce a derivada (6)

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Mensagem por Euclides Sab 02 Fev 2013, 13:39

Vamos aqui examinar um limite importante que nos ajudará a fazer uma travessia para um novo e poderoso domínio do cálculo: as derivadas.

O gráfico abaixo será nossa ferramenta:

De um limite nasce a derivada (6) Limites_6

Na figura 1 vemos a reta s, uma secante à uma curva dada (no caso uma função do terceiro grau) pelos pontos P e P'. É bastante fácil encontrar a inclinação dessa reta. Já sabemos que o seu coeficiente angular é dado por:



As figuras 1a e 1b mostram o comportamento de s quando o ponto P' se desloca sobre a curva, aproximando-se de P. Podemos ver que a secante vai se aproximando da tangente à curva no ponto P.

Você já deve ter percebido que esse raciocínio contém a ideia de limite. O comportamento da secante obedece a uma tendência enquanto e no limite temos uma tangente. Em outras palavras, o coeficiente angular da reta tende ao coeficiente angular da tangente quando o que nos permite escrever



sendo a função que descreve a curva e o ponto no qual se deseja conhecer a inclinação da tangente. É evidente que isso nos permite encontrar a equação dessa tangente, já que temos o seu coeficiente angular e o ponto de tangência, .

Esta é a definição de derivada num ponto. A derivada de uma função em um ponto dado é o coeficiente angular da reta tangente à função nesse ponto.



as tres formas de notação podem ser utilizadas significando todas a derivada de .

Ou seja agora já sabemos como derivar uma função:



Importante: enquanto não está definido e, portanto é uma variável, a derivada ainda não possui um valor númerico e é uma função também.

Consideremos a função



e vamos derivá-la de acordo com a definição de derivada



desde que ainda não atribuímos um valor para o ponto, temos ainda uma variável e a derivada é uma função dessa variável. Temos que



essa função nos fornece a inclinação das tangentes ponto a ponto.


Aplicação:

encontre a equação da tangente à curva no ponto .

Solução:


a reta será



que passa pelo ponto (2, 0), ou seja:



Uma exercício sobre limites:



Solução:

Para encerrar esta etapa sobre limites, fica abaixo um link do fórum com mais de 200 exercícios resolvidos para você praticar:

Exercícios resolvidos - Limites

Espero que tenha valido a pena!

PS: coloque suas dúvidas como questões na seção Iniciação ao Cálculo


Última edição por Euclides em Sex 05 Abr 2013, 14:49, editado 3 vez(es)

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De um limite nasce a derivada (6) Empty Re: De um limite nasce a derivada (6)

Mensagem por Iago6 Sex 08 Fev 2013, 20:25

Ótima explicação. Surprised
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