Limite e Derivada

[latex]\\\mathrm{\lim_{x\to 0^+}[1-cos(x)ln(x)]=\lim_{x\to 0^+}\left [ \frac{ln(x)}{\frac{1}{1-cos(x)}} \right ]=\lim_{x\to 0^+}\left \{ \frac{\frac{d}{dx}[ln(x)]}{\frac{d}{dx}\left [ \frac{1}{1-cos(x)} \right ]} \right \}=-\lim_{x\to 0^+}\left \{ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{sin(x)}{[1-cos(x)]^2}} \right \}}\\\\ \mathrm{\lim_{x\to 0^+}[1-cos(x)ln(x)]=-\lim_{x\to 0^+}\left \{ \frac{\left [ 1-cos(x) \right ]^2}{xsin(x)} \right \}=-\lim_{x\to 0^+}\left \{ \frac{\frac{d}{dx}\left [ 1-cos(x) \right ]^2}{\frac{d}{dx}[xsin(x)]} \right \}}\\\\ \mathrm{\lim_{x\to 0^+}[1-cos(x)ln(x)]=\lim_{x\to 0^+}\left \{ \frac{\frac{d}{dx}[sin(2x)-2sin(x)]}{\frac{d}{dx}[sin(x)+xcos(x)]} \right \}=\lim_{x\to 0^+}\left [ \frac{2cos(2x)-2cos(x)}{2cos(x)-xsin(x)} \right ]=0}[/latex]

Bom, o limite de f(x) quando x tende a 0⁺ é nulo, mas e quanto ao limite de f(x) quando x tende a 0^-? Sendo f(x)=1-ln(x)cos(x), note que para f(x) existir x deve ser maior que 0 devido à função "ln(x)". Desse modo, D(f)={x ∈ ℝ | x > 0}, ou seja, f(x) não está definida para x < 0, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0^- sequer existe, logo, o limite que estamos querendo calcular sequer existe. Nem precisaríamos ter feito o cálculo do limite acima. O fiz apenas para deixar registrado.

Gráfico de f(x) para que você veja que f(x) existe apenas para valores estritamente maiores que 0.