Otimização

O canto esquerdo superior de um pedaço de papel com 8 pol de largura por 12 pol de comprimento é dobrado sobre o lado direito, como na figura. Como você o dobraria de forma a minimizar o comprimento da dobra ? Em outras palavras, como você escolheria x para minimizar y ?



Gabarito:

Spoiler:

O triângulo retângulo em azul escuro e o triângulo retângulo cujos catetos estão pontilhados são congruentes.




x² + (12 - k)² = y² (Equação 1)


z² + (8 - x)² = x²
z² + 64 -16x = 0
z = √(16x - 64) (2)


(12 - k)² = 64 + (12 - k - z)²

Substituindo 2:
(12 - k)² = 64 + [(12 - k) - √(16x - 64)]²
(12 - k)² = 64 + (12 - k)² - 2*(12 - k)√(16x - 64) + 16x - 64

(12 - k)√(16x - 64) = 8x
(12 - k)² = 64x²/(16x - 64) = 4x²/(x - 4) (3)

3 em 1:

x² + 4x²/(x - 4) = y²
y = √[x² + 4x²/(x - 4)]

O valor mínimo pode ser encontrado quando a derivada se anula:

y' = (x - 6)x²/(x - 4)²√(x³/(x -4)
(x - 6)x²/(x - 4)²√(x³/(x -4) = 0

Numerador tem que ser igual a zero:
(x - 6)x² = 0
x = 0(a função não está definida para x = 0, pois não existe raiz de número negativo) ou x = 6 pol

Valeu leonardo