(UNIFOA-2012)

por marce_1984 Qui 31 Jan 2013, 20:01

Resolvendo o sistema linear {x+4y=13k
{4x+3y=13(4k-y)
Demonstre porque x+4y é múltiplo de 13:

por danjr5 Qui 31 Jan 2013, 23:29

$\\ \begin{cases}x + 4y = 13k \\ 4x + 3y = 13(4k - y)\end{cases}$

Substituindo a primeira equação na segunda teremos:

$\\ 4(13k - 4y) + 3y = 13(4k - y) \\\\ 52k - 16y + 3y = 52k - 13y \\\\ - 16y = - 13y - 3y \\\\ - 16y + 16y = 0 \\\\ \boxed{y = 0}$

Substituindo na 1ª equação...

$\\ x = 13k - 4y \\\\ \boxed{x = 13k}$

Se, (x + 4y) é múltiplo de 13, então: $13|(x + 4y)$

Daí,

$\\ \frac{x + 4y}{13} = q' \\\\ x + 4y = 13q' \\\\ 13k + 0 = 13q' \\\\ \boxed{\boxed{13k = 13q'}}$

C.q.d

por danjr5 Qui 31 Jan 2013, 23:48

Marce_1984,
agora que notei que o sistema é indeterminado...

por danjr5 Sex 01 Fev 2013, 00:11

Segue a resolução correta:

$\\ \begin{cases} x + 4y = 13k \\ 4x + 3y = 13(4k - y) \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} x + 4y = 13k \\ 4x + 3y = 52k - 13y \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} x + 4y = 13k \:\:\:\: \times (- 4\\ 4x + 16y = 52k \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} - 4x - 16y = - 52k \\ 4x + 16y = 52k \end{cases} \\ ------------- \\ 0x + 0y = 0$

A demonstração é por indução.

Quando $\boxed{y = 1}$ , temos: $\boxed{x = 13k - 4}$

Vejamos se é válida...

$\\ 13|(x + 4y) = \\\\ x + 4y = 13q \\\\ 13k - 4 + 4 \cdot 1 = 13q \\\\ 13k - 4 + 4 = 13q \\\\ \boxed{\boxed{13k = 13q}}$

Portanto, verdadeira.

$\\ \textup{Hipotese} \begin{cases} y = t \\ x = 13k - 4t \end{cases} \\\\\\ 13|(x + 4y) = \\\\ 13|(13k - 4t + 4t) = \\\\ \boxed{\boxed{13|13k}}$

Quando $\boxed{y = t + 1}$ , teremos $\boxed{x = 13k - 4t - 4}$ ...

$\\ 13|(x + 4y) = \\\\ 13|(13k - 4t - 4 + 4(t + 1)) = \\\\ 13|(13k - 4t - 4 + 4t + 4) = \\\\ \boxed{\boxed{13|13k}}$

C.q.d

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