Mostre que

por Nat' Seg 31 Dez 2012, 09:24

Se a1 > a2 > 0, ..., an > 0 mostre que:
$Mostre que Gif.latex?\frac{a_{1}}{a_{2}+ a_{3}+ ...+ a_{n}}\, \, +\, \, \frac{a_{2}}{a_{3}+ a_{4} + ... + a_{n}\,+ a_{1}}\, +\, ...\, +\, \frac{a_{n}}{a_{1} + a_{2} + ..$ > $Mostre que Gif$

por aprentice Sáb 05 Jan 2013, 03:29

k = a[1] + ... + a[n]
S = a[1]/(k - a[1]) + ... + a[n]/(k - a[n]) = 1/(k/a[1] - 1) + ... + 1/(k/a[n] - 1)
O enunciado pede que mostremos que:
S > n/(n - 1)
Pela desigualdade das médias:
n/S < (k/a[1] + ... + k/a[n] - n)/n
Chamemos 1/a[1] + ... + 1/a[n] de L.Segue:
n/S < (kL - n)/n
1/S < (kL - n)/n²
S > n²/(kL - n)
Novamente pela desigualdade das médias:
k/n > n/L => kL > n²
Donde segue:
S > n²/(n² - n) => S > n/(n - 1)
c.q.d

por Nat' Sáb 05 Jan 2013, 09:59

aprentice, obrigada pela ajuda! Smile

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