Livro-Advanced Trigonometry

Manipulando o somatório:



Usando a transformação 2sen(x)cos(y) = sen(x+y) + sen(x-y) = sen(y+x) - sen(y-x):



O somatório agora é uma soma telescópica. Resolvendo-a, temos:

Considere a seguinte equação e suas soluções, determinadas pela fórmula de Moivre:



Da relação de Girard para soma das raízes, temos:



Dividindo o somatório acima em dois:



Observe que, se subtrairmos 2π dos argumentos pertencentes ao segundo somatório, estaremos obtendo os argumentos do primeiro somatório. Isso significa que os ângulos do segundo somatório representam o replemento, isto é, o conjugado dos ângulos do primeiro somatório. Reescrevendo:



Como todo o complexo somado ao seu conjugado resulta no dobro de sua parte real: