Série de Fourier

por jorgeduardo Qua 21 Nov 2012, 23:06

Boa noite,
Alguém poderia estar me ajudando nessa série de Fourier por favor!!
Determine a série de Fourier da função f(x)= -x^2, e indique, justificando, para qual função a série determinada converge uniformemente nos intervalos [-pi,pi] e em R.

por Man Utd Sáb 30 Ago 2014, 20:09

Olá

Para determinar a Série de Fourier para uma função periodica P=2L no intervalo [-L,L] , usamos:

$\\\\\\ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} \; a_{n}\; \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right )+b_{n}\sin \left( \frac{ n \pi x}{L} \right )$

Onde os coeficientes da série de fourier são :

$\\\\\\ a_{0}=\frac{1}{L} \; \int_{-L}^{L} \; f(x) \; dx \\\\\\ a_{n}=\frac{1}{L} \; \int_{-L}^{L} \; f(x) \cos \left( \frac{n \pi x}{L} \right ) \; dx \\\\\\ b_{n}=\frac{1}{L} \; \int_{-L}^{L} \; f(x) \sin \left( \frac{n \pi x}{L} \right ) \; dx$

Como $\\\\\\ f(x)=-x^2$ é uma função par, simplificamos os cálculos pois :

$\\\\\\ a_{0}=\frac{2}{L} \; \int_{0}^{L} \; f(x) \; dx \\\\\\ a_{n}=\frac{2}{L} \; \int_{0}^{L} \; f(x) \cos \left( \frac{n \pi x}{L} \right ) \; dx \\\\\\ b_{n}=0$

Daí fazendo as integrações obtemos :

$\\\\\\ a_{0}=-\frac{2\pi^{2}}{3} \\\\\\ a_{n}=-\frac{4(-1)^{n}}{n^2}$

logo a série de fourier da função f(x)=-x² em x ∈ [-pi,pi] é :

$\\\\\\ -x^2=-\frac{\pi^{2}}{3}- 4\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^2} \; \cos(nx)$

Para determinar a convergência em [-pi,pi] e em R, podemos proceder assim: usando o teorema que diz que se f(x) for de classe C² e f(pi)=f(-pi) é convergente uniformemente em [-pi,pi] e em R , percebendo que f(x)=-x² é continua e de classe C² e que f(pi)=f(-pi) logo podemos afirmar a série de fourier de f(x)=-x² converge uniformemente no intervalo [-pi,pi] e em R.

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