lado do hexágono

por **Maria das Graças Duarte** Qui 15 Nov 2012, 18:40

A altura de um triângulo equillátero inscrito mede 10 cm. Calcule o
lado do hexágono regular inscrito nesse mesmo cíırculo

R:20/3CM

por Glauber Damasceno Qui 15 Nov 2012, 19:11

Vou tentar explicar sem o desenho .

Considerando a altura 10cm
Que dividirá o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos .
De ângulos 30,60,90 .

Aplicando sen60 = catoposto / hipotenusa = 10 / Lado do triângulo equilátero
Temos que : 10/L = √3/2
L = 20√3/3

Partido do princípio que a altura do triângulo equilátero também é mediana e bissetriz .
O incentro ( encontro das bissetrizes) e o baricentro (encontro das medianas) coincidirão.

A proporção que o baricentro divide a me mediana é 2:1 , ou seja , do vértice até o baricentro valerá 20/3 e do baricentro
a mediana valerá 10/3.

A medida do baricentro ao vértice é o valor do raio .

R = 20/3

O lado do hexágono inscrito vale a mesma medida do raio .
Já que seu ângulo cêntrico é 60º.

Espero ter ajudado . Um grande abraço e fique com Deus.

por **Maria das Graças Duarte** Qui 15 Nov 2012, 19:52

não consegui

por Glauber Damasceno Qui 15 Nov 2012, 20:34

Em qual parte exatamente , ficaste com dúvida ?

por **Giiovanna** Qui 15 Nov 2012, 20:46

Maria,

Existe uma maneira simplesde fazer esse exercício se você souber que o raio da circunferência na qual há um triângulo equilátero inscrito vale 2/3 da altura deste. E eu posso provar.

Seja um triângulo equilátero ABC de altura 10cm inscrito numa circunferência, podemos calcular o seu lado sabendo duas fórmulas de cálculo da área.

I) Sabendo que o seu lado vale "l":

$lado do hexágono Gif.download?\frac{l$

Agora veja a imagem:
lado do hexágono 1353018990095

Aplicando um Pitágoras no triângulo hachurado, sendo R o raio da circunferência:

$lado do hexágono Gif.download?R^{2}=(\frac{10\sqrt3}{3})^{2&space;}+(10-R)^{2}&space;\\&space;\\&space;\Leftrightarrow&space;R^{2}=\frac{100$

Veja que, como eu disse, o raio vale 2/3 da altura.

Como o hexágono é REGULAR, ele é composto por 6 triângulos equiláteros. Seu centro coincide tanto com o da circunferência inscrita quanto com o da circunscrita. Como a distância de um vértice ao centro coincide com o raio da circunferência circunscrita, logo o lado do hexágono será 20/3.

por **Giiovanna** Qui 15 Nov 2012, 20:48

Opa, esqueci a unidade. 20/3 cm Smile

por **raimundo pereira** Qui 15 Nov 2012, 20:50

Olá Maria outra abordagem.
O lado do hexágono regular inscrito num circulo é igual ao raio do círculo
L6=R

A altura do triângulo equilátero inscrito num círculo é H=LV3/2, como é dado a altura temos
10=LV3/2 _-->L=20/V3 -->L =20V3/3

O lado do triângulo equilátero inscrito num círculo em função do raio é dado por L3=RV3

L=RV3 -->R=L/V3-->(20V3/3)/V3 ---R=20V3/3V3--->(20V3.V3)/3V3.V3-->R=20/3cm

Como R=L6
L6=20/3cm
.

Depois faço um desenho.