[Binômios - Desenvolvimento]

Os três primeiros termos no desenvolvimento, segundo as potências crescentes de , de , são: . Calcule e em função de .

Spoiler:

obrigado!!!

Existe um erro no enunciado. O correto deveria ser: "A soma dos três primeiros ..... "

[1 + (2.x + a.x²)]^n ----> Desenvolvendo os três primeiros termos do binômio:

A1 = C(n, 0)*1^n ----> A1 = 1

A2 = C(n, 1).[1^(n-1)].(2.x + a.x²)¹ ----> A2 = n.1.(2.x + a.x²) ----> A2 = 2.n.x + n.a.x²

A3 = C(n, 2).[1^(n-2)].(2.x + a.x²)² ----> A3 = [n.(n - 1)/2].(4.x² + 4.a.x³ + a².x^4) ----> A3 = 2.n.(n - 1).x² + 2.a.n.(n - 1).x³ + [a².n.(n - 1)/2],x^4

O 1º termo da soma vale 1, igual ao termo A1

O 2º termo da soma vale 2.n.x, igual ao 1º termo de A2

A soma dos termos em x² vale n.a + 2.n.(n - 1) = n.[a + 2.(n - 1)] .
Como não existe termo em x² na soma ----> a + 2.(n - 1) = 0 ----> a = 2.(1 - n)

O 3º termo da soma vale λ.x³ o qual deverá ter coeficiente igual ao termo em x³ de A2:

λ = 2.a.n.(n - 1) ----> λ = 2.[2.(1 - n)].n.(n - 1) ----> λ = - 4.n.(n - 1)²

Este valor não coincidiu com o gabarito.
Favor verificar minhas contas e o gabarito

então, ficou meio confuso o enunciado... eu interpretei como se ele pedisse o desenvolvimento das n potências de x, e então ao organizar cada termo com sua respectiva potência os 3 primeiros seriam uma igualdade àquela expressão dada no enunciado

pensei em encontrar o(s) termo(s) independente(s), depois encontrar a(s) potencia(s) de dois e o então a(s) de três, mas não fui muito longe...

Denis

Acho que a minha interpretação está correta porque a resposta a = 2.(1 - n) coincidiu com o gabarito

então, eu dei uma roubada com o Wolfram pra ver parte a expansão e notei que o termo de grau 3 tá bem semelhante com o gabarito mesmo, mas não consegui entender mais nada do que está sendo pedido
se ele diz que os 3 primeiros termos são aqueles, o termo de coeficiente λ não deveria ser do segundo grau?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2B2x%2Bax%C2%B2%29%5En

Denis

O desenvolvimento dos três primeiros termos do binômio (k + x)^n, segundo as potências crescentes de x é:

C(n, 0)*(k^n)*(x)^0 + C(n, 1)*[k^(n - 1)]*(x)¹ + C(n, 2)*[k^(n - 2)]*(x)^2

Basta agora fazer x = (2x + a.x²) e k = 1 e desenvolver. juntando os termos de grau 0, 1, 2 e 3 e igualar com (1 + 2.n.x + λ.x³), lembrando que não existe termo em x² e que 1 elevado a qualquer expoente vale 1:

Foi o que eu fiz, conseguido obter o valor de a = 2*(1 - n) e não consguindo obter o gabarito para λ.

Por favor, tente desenvolver e calcular a, λ.

Ou eu errei nas contas ou o gabarito está errado

eu conferi tuas contas e estão todas corretas, assim como a linha de raciocínio

talvez seja uma falha no gabarito mesmo, por que o livro que uso foi reescrito com uma certa preguiça, esbanjando erros

muito obrigado Elcioschin e desculpe a insistência hehe

uma boa noite

denis

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