Distância mínima entre dois móveis

por **JOAO [ITA]** Sáb Out 27 2012, 17:01

Duas partículas 1 e 2 se movem com velocidades constantes V1 e V2 em trajetórias retilíneas perpendiculares entre si, se aproximando do ponto de cruzamento O. No instante t = 0, as partículas encontram-se a distâncias respectivamente iguais a L1 e L2 do cruzamento O. Determine:

a) o instante em que a distância entre as partículas será mínima;

b) a distância mínima atingida.

Spoiler:

por **Elcioschin** Sáb Out 27 2012, 17:51

d1 = espaço percorrido pelo móvel 1 ---> d1 = V1*t ---> t = d1/V1
idem pelo móvel 2 ---> d2 = V2*t ---> t = d2/V2

d2/V2 = d1/V1 ----> d2 = d1*(V2/V1)

Distância D entre 1 e 2 apos t segundos:

D² = (L1 - d1)² + (L2 - d2)² ----> D² (L1 - d1)² + [L2 - d1*(V2/V1)²

D² = L1² - 2*L1*d1 + d1² + L2² - 2*L2*(V2/V1)*d1 + (V²/V1)²*d1²

D = d1²*[(V1² + V2²)/V1²] - [2*(L1*V1 + L2*V2)/V1]*d1 + L1² + L2²

Temos uma parábola com a concavidade voltada para baixo

d1V = - b/2a ---> d1V = [(2*L1*V1 + 2*L2V2)/V1]/[2*(V1² + V2²)/V1²] --->

d1V = [(V1*L1 + V2*L2)*V1/(L1² + L2²)

t = d1V/V1 ----> t = (V1*L1 + L2*V2)/(L1² + L2²)

Agora calcule D

por Matheus Feitosa Sáb Out 27 2012, 18:36

Distância mínima entre dois móveis Semttulo1ao

a) Pelo MU apresentado:
Vx1=V1, Vx2=0 => $\Delta x=L_1-V_1.t$
Vy1=0, Vy2=V2 => $\Delta y=L_2-V_2.t$

Da geometria analítica, a distância mínima entre dois pontos vale
$d_{min}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ . Substituindo valores, encontramos:

$d^2=(V_{1}^2 +V_2^2).t^2-2(L_1V_1+L_2V_2).t+(L_1^2+L_2^2)$

Como a função acima é polinomial do 2° grau de concavidade para cima, podemos determinar $t_{min}$ :

$t_{min}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2(L_1V_1+L_2V_2)}{V_1^2+V_2^2}=\frac{L_1V_1+L_2V_2}{V_1^2+V_2^2}$

b) A distância $d_{min}$ pode ser obtida substituindo o intervalo encontrado no item a).

$d_{min}=\sqrt{L_1^2+L_2^2-2(L_1V_1+L_2V_2).\frac{(L_1V_1+L_2V_2)}{(V_1^2+V_2^2)} +(V_1^2+V_2^2).\frac{(L_1V_1+L_2V_2)^2}{(V_1^2+V_2^2)^2}}$

$d_{min}=\sqrt{\frac{L_1^2V_1^2+L_1^2V_2^2+V_1^2L_2^2+V_2^2L_2^2-L_1^2V_1^2+2L_1V_1L_2V_2-L_2^2V_2^2}{(V_1^2+V_2^2)}}$

$d_{min}=\sqrt{\frac{(L_1V_2+L_2V_1)^2}{(V_1^2+V_2^2)}}=\frac{\mid L_1V_2+L_2V_1\mid }{\sqrt{(V_1^2+V_2^2)}}$

Bons estudos. :study:

por Conteúdo patrocinado

Distância mínima entre dois móveis

Distância mínima entre dois móveis

Re: Distância mínima entre dois móveis

Re: Distância mínima entre dois móveis

Re: Distância mínima entre dois móveis

Um fórum livre e democrático.